ভেক্টর

দেওয়া আছে,

লব্ধি, R = 80 N

বল দুটি পরস্পর লম্ব এবং লব্ধি প্রথম বল F₁-এর সাথে θ = 60° কোণ করে।

বল দুটি, F₁ = ?, F₂ = ?

লব্ধিকে পরস্পর লম্ব দুই বলের উপাংশে ভাগ করলে,

F₁ = R cosθ

বা, F₁ = 80 × cos60°

বা, F₁ = 80 × 0.5

∴ F₁ = 40 N

আবার, F₂ = R sinθ

বা, F₂ = 80 × sin60°

বা, F₂ = 80 × 0.866

∴ F₂ = 69.3 N

উত্তর: বল দুটি 40 N এবং 69.3 N (403 N)

দেওয়া আছে,

v_x = 5x + 2y

v_y = 2py − z

v_z = x − 2z

সলিনয়ডাল হলে ডাইভারজেন্স শূন্য হয়,

∇ · v = 0

বা, ∂v_x∂x + ∂v_y∂y + ∂v_z∂z = 0

এখানে, ∂v_x∂x = 5, ∂v_y∂y = 2p, ∂v_z∂z = −2

বা, 5 + 2p − 2 = 0

বা, 2p = −3

∴ p = −32 = −1.5

উত্তর: p = −1.5

লক্ষ করো: প্রশ্নে ছাপা রাশি (x − 2z পর্যন্ত) কাটা ছিল; তৃতীয় উপাংশ (x − 2z)k ধরে নেওয়া হয়েছে।

দেওয়া আছে,

নৌকার বেগ (পাড়ের লম্বদিকে), v_b = 20 m s⁻¹

স্রোতের বেগ, v_r = 15 m s⁻¹

নদীর প্রস্থ, d = 2 km = 2000 m

সময়, t = ?

লব্ধি বেগ, v = ?

সময় নির্ণয়:

নৌকা পাড়ের লম্বদিকে চলে, তাই স্রোত পার হওয়ার সময়কে প্রভাবিত করে না।

আমরা জানি, t = d/v_b

বা, t = 2000/20

∴ t = 100 s

লব্ধি বেগ নির্ণয়:

পরস্পর লম্ব দুটি বেগের লব্ধি,

v = v_b² + v_r²

বা, v = 20² + 15²

বা, v = 625

∴ v = 25 m s⁻¹

নৌকার দিক নৌকার গতিমুখের সাথে θ কোণে হলে,

tan θ = v_r/v_b = 15/20 = 0.75

∴ θ = 36.87° (স্রোতের দিকে)

উত্তর: সময় 100 s; লব্ধি বেগ 25 m s⁻¹, যা নৌকার গতিমুখের সাথে স্রোতের দিকে 36.87° কোণে

লক্ষ করো: নৌকা পাড়ের লম্ব বরাবর (প্রস্থ বরাবর) বেগে যাচ্ছে ধরা হয়েছে; এ অবস্থায় নৌকা স্রোতের দিকে 15 × 100 = 1500 m ভেসে যাবে।

(ক) অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়:

মূলবিন্দু O(0, 0, 0) থেকে P(2, −3, 4) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

r = OP = 2i − 3j + 4k

এর মান, |r| = 2² + (−3)² + 4²

= 4 + 9 + 16

∴ |r| = 29 = 5.39 একক

(খ) A ও B এর সংযোগকারী দিক রাশি নির্ণয়:

A এর অবস্থান ভেক্টর, a = 2i − j + 3k

B এর অবস্থান ভেক্টর, b = −i + 2j − 3k

A থেকে B এর সংযোগকারী ভেক্টর,

AB = b − a

= (−1 − 2)i + (2 + 1)j + (−3 − 3)k

= −3i + 3j − 6k

|AB| = 9 + 9 + 36 = 54 = 7.35 একক

দিক অনুপাত = −3 : 3 : −6 = −1 : 1 : −2

দিক কোসাইন = −16, 16, −26

উত্তর: (ক) 2i − 3j + 4k; (খ) AB = −3i + 3j − 6k (দিক অনুপাত −1 : 1 : −2)

দেওয়া আছে,

স্থির পানিতে নৌকার বেগ, v_b = 14 km h⁻¹

স্রোতের বেগ, v_r = 7 km h⁻¹

নদীর প্রস্থ, d = 12.125 km

(ক) নৌকার দিক নির্ণয়:

আড়াআড়ি (সরাসরি ওপারে) পার হতে হলে স্রোতের বিপরীতে কিছুটা ঘুরিয়ে চালাতে হবে।

ধরি, নৌকার মুখ নদীর লম্ব দিকের সাথে স্রোতের উজানে θ কোণে আছে।

স্রোতের দিকের উপাংশ শূন্য হতে হবে,

v_b sin θ = v_r

বা, sin θ = 714 = 0.5

∴ θ = 30°

(খ) সময় নির্ণয়:

পার হওয়ার কার্যকর বেগ, v = v_b cos θ

= 14 × cos 30° = 12.124 km h⁻¹

সময়, t = dv = 12.12512.124

∴ t ≈ 1.0 h

উত্তর: (ক) স্রোতের বিপরীতে লম্ব দিক থেকে 30° কোণে (নদীর তীরের সাথে 60° কোণে); (খ) প্রায় 1 ঘণ্টা

দেওয়া আছে,

নদীর প্রস্থ, d = AB = 36 km = 3.6 × 10⁴ m

পানির সাপেক্ষে নৌকার বেগ, v_b = 10 m s⁻¹

তীরের সাথে নৌকার বেগের কোণ, θ = 37°

স্রোতের বেগ, v_r = 3 m s⁻¹ (A থেকে C-এর দিকে)

sin 37° ≈ 0.6, cos 37° ≈ 0.8

(ক) BC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

তীরের লম্ব বরাবর নৌকার বেগ,

v_b sin θ = 10 × 0.6 = 6 m s⁻¹

নদী পার হতে সময়,

t = dv_b sin θ

= 3.6 × 10⁴6 = 6000 s

তীর বরাবর মোট বেগ,

v_r + v_b cos θ = 3 + 10 × 0.8

= 11 m s⁻¹

∴ BC = (v_r + v_b cos θ) t

= 11 × 6000

= 66000 m = 66 km

(খ) সরাসরি B-তে যাওয়ার কোণ নির্ণয়:

ধরি, স্রোতের দিকের সাথে α কোণে রওনা দিতে হবে। তাহলে তীর বরাবর লব্ধি বেগ শূন্য হবে:

v_r + v_b cos α = 0

বা, cos α = −v_rv_b

= −310 = −0.3

∴ α = 107.46°

অর্থাৎ স্রোতের বিপরীত দিকে (উজানে) তীরের সাথে 180° − 107.46° = 72.54° কোণে, বা AB রেখা থেকে উজানের দিকে 17.46° হেলিয়ে রওনা দিতে হবে।

উত্তর: (ক) BC = 66 km; (খ) স্রোতের দিকের সাথে 107.46° কোণে (উজানের দিকে তীরের সাথে 72.54°)

লক্ষ করো: sin 37° ও cos 37°-এর সূক্ষ্ম মান (0.6018 ও 0.7986) নিলে BC ≈ 65.7 km হয়। মূল চিত্রে স্রোতের দিক দেখানো নেই; নৌকার বেগের তীর-বরাবর উপাংশের দিকেই (A থেকে C-এর দিকে) স্রোত ধরা হয়েছে, এবং C হলো নৌকার প্রকৃত পৌঁছানোর বিন্দু।

দেওয়া আছে,

A = 2i + 3j

B = i + j

B-এর দিকে A-এর উপাংশ = ?

আমরা জানি,

|B| = 1² + 1² = 2

A · B = 2 × 1 + 3 × 1 = 5

B-এর দিকে একক ভেক্টর,

b = B|B| = 12(i + j)

∴ উপাংশের মান, A_B = A · B|B|

= 52 = 3.54

ভেক্টর উপাংশ = A_B b

= 52 × 12(i + j)

= 52(i + j)

= 2.5i + 2.5j

উত্তর: উপাংশের মান 52 ≈ 3.54 একক; ভেক্টর উপাংশ 52(i + j) = 2.5i + 2.5j