চুয়েট ২০০৫ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

(ক) অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়:

মূলবিন্দু O(0, 0, 0) থেকে P(2, −3, 4) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

r = OP = 2i − 3j + 4k

এর মান, |r| = 2² + (−3)² + 4²

= 4 + 9 + 16

∴ |r| = 29 = 5.39 একক

(খ) A ও B এর সংযোগকারী দিক রাশি নির্ণয়:

A এর অবস্থান ভেক্টর, a = 2i − j + 3k

B এর অবস্থান ভেক্টর, b = −i + 2j − 3k

A থেকে B এর সংযোগকারী ভেক্টর,

AB = b − a

= (−1 − 2)i + (2 + 1)j + (−3 − 3)k

= −3i + 3j − 6k

|AB| = 9 + 9 + 36 = 54 = 7.35 একক

দিক অনুপাত = −3 : 3 : −6 = −1 : 1 : −2

দিক কোসাইন = −16, 16, −26

উত্তর: (ক) 2i − 3j + 4k; (খ) AB = −3i + 3j − 6k (দিক অনুপাত −1 : 1 : −2)

দেওয়া আছে,

আদি বেগ, v₁ = 100 km h⁻¹

ছাদ ভেদের পর বেগ, v₂ = 100 × 12 = 50 km h⁻¹

ছাদের পুরুত্ব, s₁ = 15 cm

পুনরায় ভেদের দূরত্ব, s₂ = ?

ছাদ থেকে বেরিয়ে গুলি উপরে উঠে আবার একই বেগে (50 km h⁻¹) ছাদে ফিরে আসে (বায়ুর বাধা উপেক্ষা)।

ছাদের রোধ বল F ধ্রুব ধরলে কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে,

প্রথম বার: F s₁ = 12m(v₁² − v₂²) = 12m(100² − 50²)

দ্বিতীয় বার: F s₂ = 12m(50² − 0)

বা, s₂s₁ = 50²100² − 50²

= 25007500

= 13

বা, s₂ = 153

∴ s₂ = 5 cm

উত্তর: 5 cm

লক্ষ করো: "অর্ধেক বেগ হারায়" অর্থ ভেদের পর বেগ আদি বেগের অর্ধেক (50 km h⁻¹) ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্য, L₁ = L₂ = 10 m

ব্যাস, d₁ = 2 mm, d₂ = 4 mm

ইয়ং গুণাঙ্ক, Y₁ = 4Y₂

বল, F₁ = F₂ = 100 kg wt

প্রসারের অনুপাত, l₁l₂ = ?

আমরা জানি,

Y = FLAl, বা, l = FLAY

এখানে A = π4d²

বা, l = 4FLπd²Y

∴ l₁l₂ = d₂²Y₂d₁²Y₁

= 4² × Y₂2² × 4Y₂

= 1616

= 1

উত্তর: l₁ : l₂ = 1 : 1, অর্থাৎ দুই তারের প্রসার সমান

দেওয়া আছে,

ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ, r = 5 × 10⁻⁴ m

ফোঁটার সংখ্যা, n = 8

পৃষ্ঠটান, T = 7.2 × 10⁻² N m⁻¹

নির্গত শক্তি, E = ?

বড় ফোঁটার ব্যাসার্ধ R হলে, আয়তন সমান বলে,

(4/3)πR³ = 8 × (4/3)πr³

বা, R = 2r = 10⁻³ m

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের হ্রাস,

ΔA = 8 × 4πr² − 4πR²

= 4π(8 × 25 × 10⁻⁸ − 10⁻⁶)

= 4π × 10⁻⁶ m²

= 1.257 × 10⁻⁵ m²

নির্গত শক্তি, E = T × ΔA

= 7.2 × 10⁻² × 1.257 × 10⁻⁵

∴ E = 9.05 × 10⁻⁷ J

উত্তর: 9.05 × 10⁻⁷ J

দেওয়া আছে,

আদি ব্যাস, d₁ = 200 m

শেষ ব্যাস, d₂ = 2000 m

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 10⁵ K

γ = 1.66

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = ?

আমরা জানি, রুদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায়,

T₁V₁^γ−1 = T₂V₂^γ−1

আয়তন V ∝ d³, তাই

বা, T₂ = T₁(d₁d₂)^3(γ−1)

= 10⁵ × (2002000)^{3 × 0.66}

= 10⁵ × (0.1)^1.98

= 10⁵ × 10^−1.98

= 10^3.02

∴ T₂ = 1047 K ≈ 1.05 × 10³ K

উত্তর: প্রায় 1047 K

দেওয়া আছে,

ফুটন্ত পানির তাপমাত্রা, θ₁ = 100°C

কলের পানির তাপমাত্রা, θ₂ = 10°C

মিশ্রণের তাপমাত্রা, θ = 35°C

মোট পানি = 20 গ্যালন

ফুটন্ত পানি = x গ্যালন হলে কলের পানি = (20 − x) গ্যালন

তাপ গ্রহণ = তাপ বর্জন (ক্যালরিমিতির নীতি),

x × s × (100 − 35) = (20 − x) × s × (35 − 10)

বা, 65x = 25(20 − x)

বা, 65x = 500 − 25x

বা, 90x = 500

বা, x = 5.56

কলের পানি = 20 − 5.56 = 14.44 গ্যালন

উত্তর: ফুটন্ত পানি ≈ 5.56 গ্যালন; কলের পানি ≈ 14.44 গ্যালন

দেওয়া আছে,

ব্যাসার্ধ, r = 0.3 m

বিকিরণ ক্ষমতা, P = 25 W

স্টিফান ধ্রুবক, σ = 5.67 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴

তাপমাত্রা, T = ?

বস্তুটি গোলাকার ধরলে ক্ষেত্রফল,

A = 4πr² = 4 × 3.1416 × (0.3)²

= 1.131 m²

আমরা জানি, কৃষ্ণ বস্তুর ক্ষেত্রে,

P = σAT⁴

বা, T⁴ = PσA

= 255.67 × 10⁻⁸ × 1.131

= 3.90 × 10⁸

বা, T = (3.90 × 10⁸)^1/4

∴ T = 141 K

উত্তর: প্রায় 141 K

লক্ষ করো: বস্তুটিকে গোলক ধরে ক্ষেত্রফল 4πr² নেওয়া হয়েছে এবং পারিপার্শ্বিক থেকে গৃহীত তাপ উপেক্ষা করা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

তীব্রতা লেভেল, L₁ = 92 dB, L₂ = 86 dB

প্রমাণ তীব্রতা, I₀ = 10⁻¹² W m⁻²

সম্মিলিত তীব্রতা লেভেল, L = ?

আমরা জানি, L = 10 log II₀

বা, II₀ = 10^L/10

∴ I₁I₀ = 10^9.2 = 1.585 × 10⁹

এবং I₂I₀ = 10^8.6 = 3.981 × 10⁸

সম্মিলিত তীব্রতা, I = I₁ + I₂

বা, II₀ = 1.585 × 10⁹ + 0.398 × 10⁹ = 1.983 × 10⁹

L = 10 log (1.983 × 10⁹)

= 10 × 9.297

∴ L = 92.97 dB ≈ 93 dB

উত্তর: প্রায় 93 dB

দেওয়া আছে,

প্রতিটি খণ্ডের উচ্চতা, h = 4 ft

প্রতিটি খণ্ডের ওজন, w = 500 lb

মোট কাজ, W = 22500 ft lb

খণ্ড সংখ্যা n = ?

মাটিতে থাকা খণ্ডগুলো একটি একটি করে তুলে সাজালে,

প্রথম খণ্ড মাটিতেই থাকে, কাজ = 0

দ্বিতীয় খণ্ড 4 ft তুলতে কাজ = w × h

তৃতীয় খণ্ড 8 ft তুলতে কাজ = w × 2h

n-তম খণ্ড (n − 1)h তুলতে কাজ = w(n − 1)h

মোট কাজ, W_n = wh[1 + 2 + … + (n − 1)]

= wh × n(n − 1)2

= 500 × 4 × n(n − 1)2

= 1000 n(n − 1) ft lb

n = 5 হলে, W = 1000 × 5 × 4 = 20000 ft lb ≤ 22500

n = 6 হলে, W = 1000 × 6 × 5 = 30000 ft lb > 22500

∴ n = 5 টি খণ্ড; স্তম্ভের উচ্চতা = 5 × 4 = 20 ft

উত্তর: 5 টি খণ্ড; স্তম্ভের উচ্চতা 20 ft

লক্ষ করো: 22500 ft lb পূর্ণ সংখ্যক খণ্ডের সাথে হুবহু মেলে না; পূর্ণসংখ্যক সর্বোচ্চ n = 5 ধরা হয়েছে (বাকি 2500 ft lb দিয়ে ষষ্ঠ খণ্ড তোলা যায় না)।

দেওয়া আছে,

P = 8 Ω, Q = 12 Ω, R = 16 Ω, চতুর্থ বাহু S = 20 Ω

সাম্যাবস্থার জন্য চতুর্থ বাহুতে প্রয়োজনীয় রোধ S′ = ?

আমরা জানি, সাম্যাবস্থায়,

PQ = RS′

বা, S′ = Q × RP

= 12 × 168

= 24 Ω

বর্তমান S = 20 Ω, তাই যুক্ত করতে হবে রোধ,

x = S′ − S = 24 − 20

∴ x = 4 Ω (চতুর্থ বাহুর সাথে শ্রেণিতে)

উত্তর: 4 Ω (শ্রেণি সমবায়ে)

দেওয়া আছে,

চিত্র অনুযায়ী 6 V ব্যাটারি ও 100 Ω রোধ শ্রেণিতে যুক্ত।

4 Ω, 50 Ω ও 75 Ω রোধ তিনটির একটি করে প্রান্ত ভূ-সংযুক্ত (একই বিভব, 0 V), অপর প্রান্ত একই সংযোগ বিন্দুতে যুক্ত, তাই এরা পরস্পর সমান্তরাল; এই সমান্তরাল অংশ 100 Ω ও ব্যাটারির সাথে শ্রেণিতে আছে।

(1) সমতুল্য রোধ নির্ণয়:

সমান্তরাল অংশের রোধ R_p হলে,

1R_p = 14 + 150 + 175

= 75 + 6 + 4300

= 85300

বা, R_p = 30085 = 3.53 Ω

এই অংশ 100 Ω এর সাথে শ্রেণিতে, তাই সমতুল্য রোধ,

R = 100 + 3.53

∴ R = 103.53 Ω

(2) প্রতিটি রোধের প্রবাহ নির্ণয়:

মোট প্রবাহ, I_T = VR = 6103.53

= 0.0580 A

100 Ω এর প্রবাহ = I_T = 0.0580 A

সমান্তরাল অংশের বিভব পার্থক্য, V′ = I_T × R_p

= 0.05795 × 3.529

= 0.2045 V

4 Ω এর প্রবাহ, I₁ = 0.20454 = 0.0511 A

50 Ω এর প্রবাহ, I₂ = 0.204550 = 0.00409 A

75 Ω এর প্রবাহ, I₃ = 0.204575 = 0.00273 A

যাচাই: I₁ + I₂ + I₃ = 0.0511 + 0.0041 + 0.0027 = 0.0579 A ≈ I_T

উত্তর: (1) 103.5 Ω; (2) 100 Ω-এ 0.0580 A; 4 Ω-এ 0.0511 A; 50 Ω-এ 0.00409 A; 75 Ω-এ 0.00273 A

লক্ষ করো: চিত্রে "4" এর পাশে একক ছাপা নেই, 4 Ω ধরা হয়েছে। সব ভূ-সংযোগ একই বিভবে (0 V) ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 3.8 দিন

অবশিষ্ট অংশ, NN₀ = 110

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀(12)^t/T

বা, 110 = (12)^t/3.8

বা, 10 = 2^t/3.8

বা, t3.8 = log 10log 2

= 10.3010

= 3.322

বা, t = 3.8 × 3.322

∴ t = 12.6 দিন

উত্তর: প্রায় 12.6 দিন

দেওয়া আছে,

উৎসের বেগ, v_s = 30 m s⁻¹

শ্রোতার বেগ, v_o = 30 m s⁻¹

প্রকৃত কম্পাঙ্ক, f = 800 Hz

বায়ুতে শব্দের বেগ, v = 340 m s⁻¹ (ধরা হলো)

আপাত কম্পাঙ্ক, f′ = ?

অতিক্রম করার আগে ট্রেন দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাই উৎস ও শ্রোতা কাছাকাছি আসছে।

আমরা জানি,

f′ = f × v + v_ov − v_s

= 800 × 340 + 30340 − 30

= 800 × 370310

∴ f′ = 955 Hz

উত্তর: প্রায় 955 Hz

লক্ষ করো: প্রশ্নে শব্দের বেগ দেওয়া নেই; 340 m s⁻¹ ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

q₁ = 12 μC = 12 × 10⁻⁶ C

q₂ = 8 μC = 8 × 10⁻⁶ C

আদি দূরত্ব, r₁ = 10 cm = 0.10 m

শেষ দূরত্ব, r₂ = 6 cm = 0.06 m

14πε₀ = 9 × 10⁹ N m² C⁻²

কাজ, W = ?

আমরা জানি, কাজ = স্থিতিশক্তির পরিবর্তন,

W = q₁q₂4πε₀(1r₂ − 1r₁)

= 9 × 10⁹ × 12 × 10⁻⁶ × 8 × 10⁻⁶ × (10.06 − 10.10)

= 0.864 × (16.67 − 10)

= 0.864 × 6.67

∴ W = 5.76 J

উত্তর: 5.76 J

দেওয়া আছে,

চিড়ের ব্যবধান, d = 0.2 mm = 2 × 10⁻⁴ m

পর্দার দূরত্ব, D = 50 cm = 0.5 m

পট্টি ব্যবধান, β = 1.42 mm = 1.42 × 10⁻³ m

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ = ?

আমরা জানি,

β = λDd

বা, λ = βdD

= 1.42 × 10⁻³ × 2 × 10⁻⁴0.5

= 2.84 × 10⁻⁷0.5

∴ λ = 5.68 × 10⁻⁷ m = 568 nm

উত্তর: 5.68 × 10⁻⁷ m (568 nm)

দেওয়া আছে,

উজ্জ্বলতর বাতির দূরত্ব, d₁ = 50 cm; তীব্রতা I₁

অপর বাতির দূরত্ব, d₂ = 25 cm; তীব্রতা I₂

ঢাকনা দেওয়ার পর অপর বাতির দূরত্ব, d₂′ = 25 + 10 = 35 cm

ঢাকনার পর I₁ হয় I₁′; কমে যাওয়া আলোর অংশ = ?

আমরা জানি, ফটোমিটারে সমতার শর্ত Id² সমান।

প্রথমে: I₁50² = I₂25²

বা, I₁ = 4I₂

পরে: I₁′50² = I₂35²

বা, I₁′ = 25001225 I₂ = 2.04 I₂

আলো কমার অনুপাত = I₁ − I₁′I₁

= 4 − 2.044

= 0.49

∴ আলো কমেছে প্রায় 49%

উত্তর: প্রায় 49% (আলোর প্রায় অর্ধেক)

লক্ষ করো: "অপর বাতিটিকে 10 সে.মি দূরে সরাতে হল" অর্থ ফটোমিটার থেকে আরও 10 cm দূরে (35 cm) ধরা হয়েছে।

(ক) উত্তল লেন্সের ক্ষমতা নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

ফোকাস দূরত্ব, f = 25 cm = 0.25 m

ক্ষমতা, P = ?

আমরা জানি,

P = 1f (m)

= 10.25

∴ P = +4 D

(খ) লেন্সের প্রকৃতি ও ফোকাস দূরত্ব নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

ক্ষমতা, P = −5 D

আমরা জানি,

f = 1P

= 1−5

= −0.2 m

∴ f = −20 cm

ক্ষমতা ও ফোকাস দূরত্ব ঋণাত্মক, তাই লেন্সটি অবতল (অপসারী) লেন্স।

উত্তর: (ক) +4 D; (খ) অবতল লেন্স, ফোকাস দূরত্ব 20 cm

দেওয়া আছে,

মেরুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, r = 4 cm

বিকর্ষণ বল, F = 5/4 dyne

মেরু শক্তির যোগফল, m₁ + m₂ = 12 (CGS একক)

m₁ = ?, m₂ = ?

আমরা জানি, CGS এককে বায়ুতে,

F = m₁m₂r²

বা, m₁m₂ = F r²

= 54 × 16

= 20

মেরুদ্বয়ের জন্য m₁ + m₂ = 12 এবং m₁m₂ = 20

m₁, m₂ সমীকরণ x² − 12x + 20 = 0 এর মূল

বা, (x − 2)(x − 10) = 0

বা, x = 2 অথবা 10

∴ m₁ = 2 এবং m₂ = 10

উত্তর: মেরু শক্তি 2 ও 10 (CGS একক)

(ক) আবিষ্ট তড়িচ্চালক বল নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

পাকসংখ্যা, N = 200

ফ্লাক্স পরিবর্তন, ΔΦ = 30 × 10⁻⁶ Wb

সময়, Δt = 0.02 s

আবিষ্ট তড়িচ্চালক বল, ε = ?

আমরা জানি,

ε = N ΔΦΔt

= 200 × 30 × 10⁻⁶0.02

= 6 × 10⁻³0.02

∴ ε = 0.3 V

(খ) স্বকীয় আবেশাংক নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

প্রবাহের পরিবর্তন, ΔI = 0.5 − 0.1 = 0.4 A

সময়, Δt = 1 s

আবিষ্ট তড়িচ্চালক বল, ε = 10 V

স্বকীয় আবেশাংক, L = ?

আমরা জানি,

ε = L ΔIΔt

বা, L = ε ΔtΔI

= 10 × 10.4

∴ L = 25 H

উত্তর: (ক) 0.3 V; (খ) 25 H

(i) জলীয় বাষ্পের আয়তন নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

ভর, m = 1 kg = 1000 g; মোলার ভর M = 18 g mol⁻¹

T = 100°C = 373 K; P = 1 atm = 1.013 × 10⁵ N m⁻²; R = 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹

মোল সংখ্যা, n = 100018 = 55.56 mol

আমরা জানি, PV = nRT

বা, V = nRTP

= 55.56 × 8.31 × 3731.013 × 10⁵

= 1.722 × 10⁵1.013 × 10⁵

∴ V ≈ 1.7 m³

(ii) বোল্টজম্যান ধ্রুবক:

k = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹

1 cal = 4.2 J

বা, k = 1.38 × 10⁻²³4.2 cal K⁻¹

∴ k ≈ 3.3 × 10⁻²⁴ cal K⁻¹

(iii) R এর মান:

SI এককে R = 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹

ক্যালরিতে (ইঞ্জিনিয়ারিং এককে) R = 8.314.18 ≈ 1.99 cal mol⁻¹ K⁻¹

উত্তর: (i) ≈ 1.7 m³; (ii) ≈ 3.3 × 10⁻²⁴ cal K⁻¹; (iii) 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹ ও ≈ 1.99 cal mol⁻¹ K⁻¹ (≈ 2 cal mol⁻¹ K⁻¹)