ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি · লিখিত
দেওয়া আছে,
A = 2i + 3j
B = i + j
B-এর দিকে A-এর উপাংশ = ?
আমরা জানি,
|B| = 12 + 12 = 2
A · B = 2 × 1 + 3 × 1 = 5
B-এর দিকে একক ভেক্টর,
b = B|B| = 12(i + j)
∴ উপাংশের মান, AB = A · B|B|
= 52 = 3.54
ভেক্টর উপাংশ = AB b
= 52 × 12(i + j)
= 52(i + j)
= 2.5i + 2.5j
উত্তর: উপাংশের মান 52 ≈ 3.54 একক; ভেক্টর উপাংশ 52(i + j) = 2.5i + 2.5j
দেওয়া আছে,
ভর, M = 0.56 kg
দৈর্ঘ্য, L = 1 m
ভরকেন্দ্র (50 cm দাগ) থেকে অক্ষের দূরত্ব,
h = 50 cm − 20 cm = 30 cm = 0.3 m
ঘূর্ণন জড়তা, I = ?
আমরা জানি, ভরকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে
IG = ML212
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে,
I = IG + Mh2 = ML212 + Mh2
বা, I = 0.56 × 1212 + 0.56 × (0.3)2
বা, I = 0.0467 + 0.0504
∴ I = 0.097 kg m2
উত্তর: 0.097 kg m2
দেওয়া আছে,
কলের উচ্চতা, h = 1 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
দ্বিতীয় ফোঁটার উচ্চতা = ?
ফোঁটাগুলো সমান সময় পরপর পড়ে। ধরি, পরপর দুই ফোঁটার মাঝে ব্যবধান t0।
প্রথম ফোঁটা ভূমিতে পড়ার মুহূর্তে তৃতীয় ফোঁটা বের হয়, তাই প্রথম ফোঁটার পতনকাল t = 2t0।
আমরা জানি,
h = 12gt2
বা, t = 2hg = 2 × 19.8 = 0.452 s
∴ t0 = t2 = 0.226 s
এই সময়ে দ্বিতীয় ফোঁটা কল থেকে নিচে নামে,
h2 = 12gt02 = 12 × 9.8 × (0.226)2
বা, h2 = 14 × 12gt2 = h4 = 0.25 m
∴ ভূমি হতে দ্বিতীয় ফোঁটার উচ্চতা
= h − h2 = 1 − 0.25 = 0.75 m
উত্তর: 0.75 m
দেওয়া আছে,
প্রতিটি তারার ভর, M = 2 × 1030 kg
আদি দূরত্ব, d1 = 109 km = 1012 m
ব্যাসার্ধ, R = 104 km = 107 m
সংঘর্ষের মুহূর্তে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব,
d2 = 2R = 2 × 107 m
G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
প্রতিটি তারার বেগ, v = ?
ভরবেগের সংরক্ষণ অনুসারে দুটি সমান ভরের তারা সমান দ্রুতিতে বিপরীত দিকে চলবে।
শক্তির সংরক্ষণ অনুসারে,
−GM2d1 = −GM2d2 + 2 × 12Mv2
বা, v2 = GM(1d2 − 1d1)
বা, v2 = 6.67 × 10−11 × 2 × 1030
× (12 × 107 − 11012)
বা, v2 = 1.334 × 1020 × 4.9999 × 10−8
বা, v2 = 6.67 × 1012
∴ v = 2.58 × 106 m s−1
উত্তর: প্রতিটি তারার বেগ 2.58 × 106 m s−1 (পরস্পরের সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ 5.16 × 106 m s−1)
দেওয়া আছে,
ভর, m = 45 kg
g = 9.8 m s−2
তারের ব্যাসার্ধ, r = 0.5 cm = 5 × 10−3 m
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 15°
ইয়ং-এর গুণাংক, Y = 2 × 1011 N m−2
দৈর্ঘ্য বিকৃতি, lL = ?
তার দুটি প্রতিসম, তাই উভয় তারে টান সমান (T)। অনুভূমিক উপাংশ পরস্পরকে বাতিল করে; উল্লম্ব দিকে সাম্যাবস্থায়,
2T sin θ = mg
বা, T = mg2 sin 15°
বা, T = 45 × 9.82 × 0.2588
∴ T = 851.95 N
তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল,
A = πr2 = π × (5 × 10−3)2
= 7.854 × 10−5 m2
আমরা জানি,
Y = T/Al/L
বা, lL = TAY
বা, lL = 851.957.854 × 10−5 × 2 × 1011
বা, lL = 851.951.571 × 107
∴ lL = 5.42 × 10−5
উত্তর: প্রতিটি তারের দৈর্ঘ্য বিকৃতি 5.42 × 10−5
দেওয়া আছে,
ভর, m = 150 g = 0.15 kg
আদিবেগ, u = 12 m s−1
শেষবেগ (বিপরীত দিকে), v = −20 m s−1
সময়, t = 0.01 s
গড় বল, F = ?
আমরা জানি,
F = m(v − u)t
বা, F = 0.15 × (−20 − 12)0.01
বা, F = 0.15 × (−32)0.01
∴ F = −480 N
ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায়, বল বলটির আদি গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।
উত্তর: 480 N (বলের আদি গতির বিপরীত দিকে)
দেওয়া আছে,
অণুর ভর, m = 4.65 × 10−26 kg
k = 1.38 × 10−23 J K−1
তাপমাত্রা, T = 0°C = 273 K
g = 9.8 m s−2
উচ্চতা, h = ?
আমরা জানি,
Crms = 3kTm
বা, Crms2 = 3 × 1.38 × 10−23 × 2734.65 × 10−26
বা, Crms2 = 2.43 × 105 m2 s−2
∴ Crms = 493 m s−1
অণুটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠলে সব গতিশক্তি বিভব শক্তিতে রূপান্তরিত হয়,
12mCrms2 = mgh
বা, h = Crms22g
বা, h = 2.4306 × 1052 × 9.8
∴ h = 1.24 × 104 m = 12.4 km
উত্তর: প্রায় 1.24 × 104 m (12.4 km)
লক্ষ করো: h (12.4 km) পৃথিবীর ব্যাসার্ধের তুলনায় নগণ্য, তাই g ধ্রুব ধরা হয়েছে। উচ্চতার সাথে g-এর পরিবর্তন ধরে (GM/R − GM/(R + h) = Crms2/2, M = 6 × 1024 kg, R = 6.4 × 106 m) হিসাব করলে h ≈ 12.46 km আসে, যা প্রায় একই।
দেওয়া আছে,
ভর, m = 0.1 kg
বিস্তার, A = 0.1 m
সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি, Ek = 8 × 10−3 J
আদি দশা, δ = 45° = π4 rad
গতির সমীকরণ = ?
সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি সর্বোচ্চ,
আমরা জানি,
Ek = 12mω2A2
বা, 8 × 10−3 = 12 × 0.1 × ω2 × (0.1)2
বা, ω2 = 2 × 8 × 10−30.1 × 0.01 = 16
∴ ω = 4 rad s−1
সরল দোলন গতির সমীকরণ,
x = A sin(ωt + δ)
∴ x = 0.1 sin(4t + π4) m
উত্তর: x = 0.1 sin(4t + π4) m
দেওয়া আছে,
আদি দক্ষতা, η1 = 16
পরিবর্তিত দক্ষতা, η2 = 2η1 = 13
গ্রাহকের তাপমাত্রা হ্রাস = 62°C = 62 K
ধরি, উৎসের তাপমাত্রা T1, গ্রাহকের তাপমাত্রা T2 = ?
আমরা জানি,
η = 1 − T2T1
প্রথম ক্ষেত্রে, 16 = 1 − T2T1 ...(i)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 13 = 1 − T2 − 62T1 ...(ii)
(ii) − (i) করে,
13 − 16 = T2 − (T2 − 62)T1
বা, 16 = 62T1
∴ T1 = 372 K
(i) থেকে, T2 = T1(1 − 16) = 372 × 56
∴ T2 = 310 K = 37°C
উত্তর: গ্রাহকের তাপমাত্রা 310 K বা 37°C (উৎসের তাপমাত্রা 372 K বা 99°C)
দেওয়া আছে,
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 5 mm = 5 × 10−3 m
আধান, q = 10e = 10 × 1.6 × 10−19 C
= 1.6 × 10−18 C
ফোঁটার ভর, m = 3 × 10−16 kg
g = 9.8 m s−2
বিভব পার্থক্য, V = ?
ভারসাম্যে তড়িৎ বল = ওজন,
qE = mg
আবার, E = Vd
∴ qVd = mg
বা, V = mgdq
বা, V = 3 × 10−16 × 9.8 × 5 × 10−31.6 × 10−18
বা, V = 1.47 × 10−171.6 × 10−18
∴ V = 9.19 V
উত্তর: প্রায় 9.19 V
লক্ষ করো: প্রশ্নে ফোঁটার ভর "3 × 13−16 kg" ছাপা হয়েছে, যা মুদ্রণ ত্রুটি; 3 × 10−16 kg ধরা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
বাম লুপে তড়িচ্চালক বল, E1 = 20 V
বাম লুপের মোট রোধ, R1 = 5 Ω + 5 Ω = 10 Ω
ডান লুপে তড়িচ্চালক বল, E2 = 30 V
ডান লুপের মোট রোধ, R2 = 5 Ω + 4 Ω = 9 Ω
ভোল্টমিটারের পাঠ, Vba = ?
ভোল্টমিটার আদর্শ হলে এর মধ্য দিয়ে প্রবাহ শূন্য। তাই 5 V কোষ ও 10 Ω রোধের শাখাতেও কোনো বদ্ধ পথ নেই, প্রবাহ শূন্য। বাম ও ডান লুপে আলাদা আলাদা প্রবাহ চলে।
আমরা জানি,
I = ER
∴ I1 = 2010 = 2 A
∴ I2 = 309 = 103 A
এখন a থেকে b পর্যন্ত বিভব হিসাব করি। ধরি, 5 V কোষের বাম প্রান্ত e, ডান প্রান্ত f এবং 4 Ω রোধের উপরের প্রান্ত c।
ধরি, Va = 0
20 V কোষের নিচের পাত (লম্বা) ধনাত্মক, তাই I1 ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘোরে; উপরের 5 Ω রোধে প্রবাহ e-এর দিক থেকে a-এর দিকে। প্রবাহ উচ্চ বিভব থেকে নিম্ন বিভবে যায়, তাই
Ve = Va + I1 × 5
বা, Ve = 0 + 2 × 5 = 10 V
5 V কোষের e প্রান্ত ঋণাত্মক (খাটো পাত) ও f প্রান্ত ধনাত্মক (লম্বা পাত), তাই
Vf = Ve + 5 = 15 V
10 Ω রোধে প্রবাহ শূন্য, তাই এর দুই প্রান্তে বিভব সমান:
Vc = Vf = 15 V
30 V কোষের উপরের পাত ধনাত্মক, তাই I2-ও ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘোরে; 4 Ω রোধে প্রবাহ c থেকে b-এর দিকে। তাই
Vb = Vc − I2 × 4
বা, Vb = 15 − 103 × 4
= 15 − 403 = 53 V
∴ ভোল্টমিটারের পাঠ, Vb − Va = 53 V ≈ 1.67 V
উত্তর: 53 V ≈ 1.67 V (b বিন্দু a-এর চেয়ে উচ্চ বিভবে)
দেওয়া আছে,
বেইজ বর্তনীর কোষ, VBB = 4 V
কালেকটর বর্তনীর কোষ, VCC = 10 V
RC = 4.7 kΩ = 4700 Ω
RE = 3.3 kΩ = 3300 Ω
VBE = 0.7 V, β = 100
কালেকটর বিভব, VC = ?
বেইজে কোনো রোধ নেই, তাই বেইজ বিভব VB = 4 V। বাম পাশের (বেইজ-এমিটার) বদ্ধ বর্তনীতে,
VBB = VBE + IERE
বা, 4 = 0.7 + IE × 3300
বা, IE = 3.33300 A
∴ IE = 1 × 10−3 A
আমরা জানি,
IE = IB + IC এবং IC = βIB
∴ IC = ββ + 1 IE
বা, IC = 100101 × 1 × 10−3
∴ IC = 9.9 × 10−4 A
ডান পাশের (কালেকটর) বর্তনীতে,
VC = VCC − ICRC
বা, VC = 10 − 9.9 × 10−4 × 4700
= 10 − 4.653
∴ VC = 5.35 V
এখানে VC (5.35 V) > VB (4 V), অর্থাৎ কালেকটর-বেইজ জাংশন বিমুখী ঝোঁকে আছে; তাই ট্রানজিস্টর সত্যিই active mode-এ।
উত্তর: 5.35 V (ভূমির সাপেক্ষে)
দেওয়া আছে,
স্থির কাঠামোয় ঘনত্ব, ρ0 = 19.3 × 103 kg m−3
আপেক্ষিক বেগ, v = 0.9c
চলমান পর্যবেক্ষকের কাছে ঘনত্ব, ρ = ?
চলমান পর্যবেক্ষকের কাছে স্বর্ণখণ্ডের ভর বাড়ে, গতির দিকে (x-অক্ষ) দৈর্ঘ্য কমে, লম্ব দুই দিকের মাত্রা অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
m = m01 − v2/c2
L = L01 − v2/c2
∴ আয়তন, V = V01 − v2/c2
∴ ρ = mV = ρ01 − v2/c2
এখানে, 1 − v2c2 = 1 − (0.9)2 = 0.19
বা, ρ = 19.3 × 1030.19
∴ ρ = 1.016 × 105 kg m−3
উত্তর: 1.016 × 105 kg m−3 (≈ 101.6 × 103 kg m−3)
দেওয়া আছে,
সক্রিয়তা, A = 8.60 μCi
= 8.60 × 10−6 × 3.7 × 1010 Bq
= 3.182 × 105 Bq
অর্ধায়ু, T1/2 = 3 h = 3 × 3600 s = 10800 s
আদি নিউক্লিয়াসের সংখ্যা, N = ?
আমরা জানি,
λ = ln 2T1/2
বা, λ = 0.69310800
∴ λ = 6.42 × 10−5 s−1
আবার, A = λN
∴ N = Aλ
বা, N = 3.182 × 1056.42 × 10−5
∴ N = 4.96 × 109
উত্তর: 4.96 × 109 টি নিউক্লিয়াস
দেওয়া আছে,
y = 0.10 sin(100πt − πx7.5)
আদর্শ সমীকরণ y = a sin(ωt − kx)-এর সাথে তুলনা করে,
বিস্তার, a = 0.10 m
ω = 100π rad s−1
k = π7.5 m−1
ঘনত্ব, ρ = 10−3 kg m−3
তীব্রতা, I = ?
আমরা জানি,
f = ω2π = 100π2π = 50 Hz
λ = 2πk = 2 × 7.5 = 15 m
v = fλ = 50 × 15 = 750 m s−1
তরঙ্গের শক্তি ঘনত্ব = 12ρω2a2; একক ক্ষেত্রফল দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে v দৈর্ঘ্যের তরঙ্গের শক্তি যায়। তাই
I = 12ρω2a2v = 2π2f2a2ρv
এখানে, ρv = 10−3 × 750 = 0.75
বা, I = 2π2 × 502 × (0.10)2 × 0.75
= 19.74 × 2500 × 0.01 × 0.75
∴ I = 370.1 W m−2
উত্তর: 370.1 W m−2 (অর্থাৎ 370.1 J m−2 s−1)
দেওয়া আছে,
বায়ুতে ফোকাস দূরত্ব, fa = 0.2 m
কাচের প্রতিসরাঙ্ক, μg = 1.50
পানির প্রতিসরাঙ্ক, μw = 1.33
পানিতে ফোকাস দূরত্ব, fw = ?
আমরা জানি (লেন্স প্রস্তুতকারকের সমীকরণ),
1fa = (μg − 1)(1r1 − 1r2) … (i)
1fw = (μgμw − 1)(1r1 − 1r2) … (ii)
(i) ÷ (ii) করে,
fwfa = μg − 1μg/μw − 1
এখানে, μgμw = 1.501.33 = 1.1278
বা, fw0.2 = 0.500.1278 = 3.912
∴ fw = 0.782 m
∴ ফোকাস দূরত্বের পরিবর্তন = fw − fa
= 0.782 − 0.2 = 0.582 m
উত্তর: ফোকাস দূরত্ব 0.582 m বৃদ্ধি পায় (0.2 m থেকে 0.782 m হয়)
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 624 nm = 624 × 10−9 m
ফিল্মের প্রতিসরাঙ্ক, μ = 1.35
লম্ব আপতন, তাই cos r = 1
বায়ু → ফিল্ম তলে (উপরের পৃষ্ঠে) প্রতিফলনে λ2 পথ পার্থক্য (π দশা পরিবর্তন) যোগ হয়; ফিল্ম → বায়ু তলে (নিচের পৃষ্ঠে) হয় না।
আমরা জানি, প্রতিফলিত আলোয় গঠনমূলক ব্যতিচারের শর্ত,
2μt − λ2 = nλ
∴ t = (2n + 1)λ4μ ; n = 0, 1, 2, …
(i) সর্বনিম্ন পুরুত্ব নির্ণয় (n = 0):
t1 = λ4μ
বা, t1 = 6244 × 1.35 nm
∴ t1 = 115.6 nm ≈ 0.116 μm
(ii) দ্বিতীয় সর্বনিম্ন পুরুত্ব নির্ণয় (n = 1):
t2 = 3λ4μ = 3t1
বা, t2 = 3 × 115.6 nm
∴ t2 = 346.7 nm ≈ 0.347 μm
উত্তর: (i) 115.6 nm ≈ 0.116 μm; (ii) 346.7 nm ≈ 0.347 μm
দেওয়া আছে,
কর্ণ = 102 cm, তাই বাহু, a = 1022 = 10 cm
তার দুটি বর্গের কেন্দ্র দিয়ে বাহুর সমান্তরালে গেছে, তাই B ও D প্রতিটি থেকে প্রত্যেক তারের লম্ব দূরত্ব,
d = a2 = 5 cm = 0.05 m
I1 = 5 A (উপরের দিকে), I2 = 5 A (ডান দিকে)
μ0 = 4π × 10−7 T m A−1
আমরা জানি, দীর্ঘ সোজা তারের জন্য,
B = μ0I2πd
বা, B1 = 4π × 10−7 × 52π × 0.05
∴ B1 = 2 × 10−5 T
একইভাবে, B2 = 2 × 10−5 T
B বিন্দুতে:
B বিন্দু I1-এর ডান পাশে; ডান হাতের নিয়মে B1 কাগজের তলের লম্বভাবে ভেতরের দিকে।
B বিন্দু I2-এর উপরে; B2 কাগজের তল থেকে লম্বভাবে বাইরের দিকে।
∴ B-তে লব্ধি = B1 − B2 = 0
D বিন্দুতে:
D বিন্দু I1-এর বাম পাশে; B1 কাগজ থেকে বাইরের দিকে।
D বিন্দু I2-এর নিচে; B2 কাগজের ভেতরের দিকে।
∴ D-তে লব্ধি = B1 − B2 = 0
লব্ধি শূন্য, তাই B ও D-তে ক্ষেত্রের কোনো দিক নেই। (A ও C বিন্দুতে দুটি ক্ষেত্র একই দিকে, সেখানে লব্ধি 4 × 10−5 T।)
উত্তর: B ও D উভয় বিন্দুতে লব্ধি চৌম্বক ক্ষেত্র শূন্য
লক্ষ করো: কোনো কোনো সমাধানে I2 = 3 A ধরা হয়। সেক্ষেত্রে B2 = 1.2 × 10−5 T এবং লব্ধি = 8 × 10−6 T; B বিন্দুতে কাগজের তলের লম্বভাবে ভেতরের দিকে, D বিন্দুতে বাইরের দিকে।
দেওয়া আছে,
Φ = (3t3 + 4t2 + 2t − 5) Wb
রোধ, R = 5 Ω
সময়, t = 4 s
আবিষ্ট প্রবাহ, I = ?
আমরা জানি (ফ্যারাডে-লেঞ্জের সূত্র),
ε = −dΦdt
বা, ε = −(9t2 + 8t + 2)
t = 4 s-এ, ε = −(9 × 16 + 8 × 4 + 2)
= −(144 + 32 + 2) = −178 V
∴ |ε| = 178 V
আবার, I = |ε|R
বা, I = 1785
∴ I = 35.6 A
উত্তর: 35.6 A
লক্ষ করো: প্রশ্নে ছাপা হয়েছিল “3t2 + 4t2”; একই ঘাতের দুটি পদ আলাদা লেখার কথা নয়, তাই প্রথম পদ 3t3 ধরা হয়েছে। Φ-কে কুণ্ডলীর মোট ফ্লাক্স সংযুক্তি ধরা হয়েছে (পাকসংখ্যা দেওয়া নেই)।
দেওয়া আছে,
λ1 = 250 nm = 250 × 10−9 m
নিবৃত্তি বিভব, V1 = 4 V
λ2 = 300 nm = 300 × 10−9 m
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
e = 1.6 × 10−19 C
নিবৃত্তি বিভব, V2 = ?
আমরা জানি (আইনস্টাইনের সমীকরণ),
hcλ = W0 + eVs
প্রথম ক্ষেত্রে,
hcλ1 = 6.63 × 10−34 × 3 × 108250 × 10−9
= 7.956 × 10−19 J
∴ W0 = hcλ1 − eV1
= 7.956 × 10−19 − 1.6 × 10−19 × 4
= 1.556 × 10−19 J
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
hcλ2 = 6.63 × 10−34 × 3 × 108300 × 10−9
= 6.63 × 10−19 J
∴ eV2 = hcλ2 − W0
= 6.63 × 10−19 − 1.556 × 10−19
= 5.074 × 10−19 J
∴ V2 = 5.074 × 10−191.6 × 10−19 = 3.17 V
উত্তর: 3.17 V
পরীক্ষা ও প্র্যাকটিস
ভর্তি পরীক্ষা
লিখিত ও সমাধান
শেখা ও রেফারেন্স
প্রিমিয়াম