চুয়েট ২০১৩ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

নৌকার বেগ (পাড়ের লম্বদিকে), v_b = 20 m s⁻¹

স্রোতের বেগ, v_r = 15 m s⁻¹

নদীর প্রস্থ, d = 2 km = 2000 m

সময়, t = ?

লব্ধি বেগ, v = ?

সময় নির্ণয়:

নৌকা পাড়ের লম্বদিকে চলে, তাই স্রোত পার হওয়ার সময়কে প্রভাবিত করে না।

আমরা জানি, t = d/v_b

বা, t = 2000/20

∴ t = 100 s

লব্ধি বেগ নির্ণয়:

পরস্পর লম্ব দুটি বেগের লব্ধি,

v = v_b² + v_r²

বা, v = 20² + 15²

বা, v = 625

∴ v = 25 m s⁻¹

নৌকার দিক নৌকার গতিমুখের সাথে θ কোণে হলে,

tan θ = v_r/v_b = 15/20 = 0.75

∴ θ = 36.87° (স্রোতের দিকে)

উত্তর: সময় 100 s; লব্ধি বেগ 25 m s⁻¹, যা নৌকার গতিমুখের সাথে স্রোতের দিকে 36.87° কোণে

লক্ষ করো: নৌকা পাড়ের লম্ব বরাবর (প্রস্থ বরাবর) বেগে যাচ্ছে ধরা হয়েছে; এ অবস্থায় নৌকা স্রোতের দিকে 15 × 100 = 1500 m ভেসে যাবে।

দেওয়া আছে,

বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = 250 m

পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, l = 1 m

গাড়ির বেগ, v = 50 km h⁻¹ = 50 × 1000/3600 = 13.89 m s⁻¹

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

বাইরের পাত উঁচু, h = ?

আমরা জানি, ব্যাংকিং কোণ θ হলে,

tan θ = v²/(rg)

বা, tan θ = (13.89)²/(250 × 9.8)

বা, tan θ = 192.9/2450 = 0.0787

∴ θ = 4.50°

আবার, ঢালু তল বরাবর পাতদ্বয়ের দূরত্ব l হলে,

h = l sin θ

বা, h = 1 × sin 4.50°

বা, h = 0.0785 m

∴ h ≈ 7.85 cm

উত্তর: বাইরের লাইনের পাত 7.85 cm (প্রায় 7.9 cm) উঁচু করতে হবে

লক্ষ করো: কোণ ছোট হওয়ায় h ≈ l tan θ = 7.87 cm; দুই মান প্রায় সমান।

দেওয়া আছে,

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T = 2 s

ঢাকায় দৈর্ঘ্য, l_D = 100 cm = 1 m

কাঠমুন্ডুতে দৈর্ঘ্য, l_K = 95 cm = 0.95 m

ওজনের পরিবর্তন = ?

আমরা জানি, T = 2πl/g

বা, g = 4π²l/T² = π²l (T = 2 s)

ঢাকায়, g_D = π² × 1 = 9.870 m s⁻²

কাঠমুন্ডুতে, g_K = π² × 0.95 = 9.376 m s⁻²

বস্তুর ভর m স্থির, ওজন W = mg

W_D/W_K = g_D/g_K = 100/95 = 1.0526

বা, (W_D − W_K)/W_K = 0.0526

∴ ওজন বৃদ্ধি = 5.26%

উত্তর: ঢাকায় আনলে বস্তুর ওজন প্রায় 5.26% বৃদ্ধি পাবে (প্রতি kg ভরে প্রায় 0.494 N বেশি)

দেওয়া আছে,

পৃষ্ঠে চাপ, P₀ = 1.013 × 10⁵ Pa

পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m⁻³

g = 9.8 m s⁻²

গভীরতা, h = ?

বুদবুদ গোলাকার, আয়তন V ∝ (ব্যাস)³

ব্যাস দ্বিগুণ হলে আয়তন হয় 2³ = 8 গুণ, অর্থাৎ V₂ = 8V₁

তলদেশে চাপ, P₁ = P₀ + hρg; পৃষ্ঠে চাপ, P₂ = P₀

তাপমাত্রা ধ্রুবক, তাই বয়েলের সূত্র অনুযায়ী,

P₁V₁ = P₂V₂

বা, (P₀ + hρg)V₁ = P₀ × 8V₁

বা, P₀ + hρg = 8P₀

বা, hρg = 7P₀

বা, h = 7P₀/(ρg)

বা, h = 7 × 1.013 × 10⁵/(1000 × 9.8)

বা, h = 7.091 × 10⁵/9800

∴ h = 72.4 m

উত্তর: হ্রদের গভীরতা প্রায় 72.4 m

দেওয়া আছে,

আয়তন, V = 1 × 10⁻² m³

তাপমাত্রা, T = 300 K

প্রাথমিক চাপ, P₁ = 2.5 × 10⁵ Pa

শেষ চাপ, P₂ = 1.3 × 10⁵ Pa

R = 8.31 J K⁻¹ mol⁻¹

অক্সিজেনের (O₂) মোলার ভর, M = 32 g mol⁻¹

ব্যবহৃত ভর, m = ?

আমরা জানি, PV = nRT

বা, n = PV/(RT)

প্রাথমিক মোল সংখ্যা, n₁ = (2.5 × 10⁵ × 10⁻²)/(8.31 × 300) = 2500/2493 = 1.0028

শেষ মোল সংখ্যা, n₂ = (1.3 × 10⁵ × 10⁻²)/(8.31 × 300) = 1300/2493 = 0.5215

ব্যবহৃত মোল সংখ্যা, Δn = n₁ − n₂ = 1.0028 − 0.5215 = 0.4813 mol

ব্যবহৃত ভর, m = Δn × M

বা, m = 0.4813 × 32 = 15.4 g

∴ m = 1.54 × 10⁻² kg

উত্তর: ব্যবহৃত অক্সিজেনের ভর প্রায় 15.4 g (1.54 × 10⁻² kg)

দেওয়া আছে,

বরফের ভর, m₁ = 15 g, তাপমাত্রা 0°C

পানির ভর, m₂ = 60 g, তাপমাত্রা 60°C

বরফের লীনতাপ, L = 80 cal g⁻¹

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 1 cal g⁻¹ °C⁻¹

মিশ্রণের তাপমাত্রা, θ = ?

প্রথমে দেখি বরফ সম্পূর্ণ গলে কিনা,

বরফ গলাতে প্রয়োজন = 15 × 80 = 1200 cal

পানি 0°C পর্যন্ত ঠান্ডা হলে ছাড়ে = 60 × 1 × 60 = 3600 cal

3600 > 1200, তাই বরফ সম্পূর্ণ গলবে এবং θ > 0°C হবে।

তাপ গ্রহণ = তাপ বর্জন,

বরফ গলাতে তাপ + গলিত পানির তাপমাত্রা θ-তে তুলতে তাপ = গরম পানির বর্জিত তাপ

বা, m₁L + m₁sθ = m₂s(60 − θ)

বা, 15 × 80 + 15 × 1 × θ = 60 × 1 × (60 − θ)

বা, 1200 + 15θ = 3600 − 60θ

বা, 75θ = 2400

∴ θ = 32°C

উত্তর: মিশ্রণের তাপমাত্রা 32°C

ধরি,

শব্দের বেগ = v

উৎসের বেগ = v_s (স্থির শ্রোতার দিকে)

উৎসের প্রকৃত কম্পাংক = f

শ্রোতার শোনা আপাত কম্পাংক = f′

উৎস শ্রোতার দিকে এগোলে ডপলার সূত্র অনুযায়ী,

f′ = f × v/(v − v_s)

এখানে v_s = v হলে হর v − v_s = v − v = 0

অতএব f′ = f × v/0 = ∞

কারণ উৎস যে মুহূর্তে একটি তরঙ্গমুখ ছাড়ে, নিজেও সেই তরঙ্গমুখের সাথে সমান অবস্থানে পৌঁছে যায়; ফলে সব তরঙ্গমুখ একই স্থানে স্তূপীকৃত হয়, তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ′ = (v − v_s)/f = 0 হয়।

তরঙ্গদৈর্ঘ্য শূন্য হলে শ্রুত কম্পাংক f′ = v/λ′ = ∞

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

ভোল্টমিটারের রোধ, G = 1000 Ω

পূর্ণ স্কেল ভোল্টেজ, V_g = 15 V

পরিমাপযোগ্য ভোল্টেজ, V = 250 V

শ্রেণি সংযোগের রোধ, R_s = ?

ভোল্টমিটারের মধ্য দিয়ে সর্বোচ্চ প্রবাহ,

I_g = V_g/G = 15/1000 = 0.015 A

250 V মাপতে হলেও এই প্রবাহই চলবে, তাই মোট রোধ,

G + R_s = V/I_g

বা, G + R_s = 250/0.015 = 16666.7 Ω

বা, R_s = 16666.7 − 1000

∴ R_s = 15666.7 Ω ≈ 15.67 kΩ

উত্তর: ভোল্টমিটারের সাথে শ্রেণিতে প্রায় 15667 Ω (15.67 kΩ) রোধ যুক্ত করতে হবে

দেওয়া আছে,

প্রথম অবস্থানে নিরপেক্ষ বিন্দুর দূরত্ব, d = 20 cm

নতুন নিরপেক্ষ বিন্দুর দূরত্ব, r = ?

ধরি চুম্বকের চৌম্বক মোমেন্ট M এবং ভূ-চৌম্বক ক্ষেত্রের অনুভূমিক উপাংশ H।

প্রথম অবস্থা:

উত্তর মেরু উত্তর দিকে থাকলে নিরপেক্ষ বিন্দু নিরক্ষীয় রেখায় (অক্ষের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে) পাওয়া যায়।

নিরক্ষীয় রেখার ক্ষেত্রে, B_e = (μ₀/4π) × M/d³ = H

… (i)

180° ঘুরানোর পর:

এখন নিরপেক্ষ বিন্দু অক্ষীয় রেখায় পাওয়া যায়।

অক্ষীয় রেখার ক্ষেত্রে, B_a = (μ₀/4π) × 2M/r³ = H

… (ii)

(i) ও (ii) থেকে,

(μ₀/4π) × M/d³ = (μ₀/4π) × 2M/r³

বা, r³ = 2d³

বা, r = d × ∛2

বা, r = 20 × 1.26

∴ r = 25.2 cm

উত্তর: নতুন নিরপেক্ষ বিন্দু চুম্বকের অক্ষ বরাবর মধ্যবিন্দু থেকে উভয় পাশে প্রায় 25.2 cm দূরে

(ক) সম্পর্ক নির্ণয়:

ধরি, অবক্ষয় ধ্রুবক = λ, প্রাথমিক পরমাণু সংখ্যা = N₀

ক্ষয়ের সূত্র অনুযায়ী, t সময় পর অবশিষ্ট পরমাণু, N = N₀e^−λt

অর্ধায়ু T_1/2 সময়ে N = N₀/2

বা, N₀/2 = N₀e^−λT_1/2

বা, e^λT_1/2 = 2

বা, λT_1/2 = ln 2 = 0.693

∴ T_1/2 = 0.693/λ

(খ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ₀ = 6800 Å = 6.8 × 10⁻⁷ m

h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s, c = 3 × 10⁸ m s⁻¹, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

আমরা জানি, কার্যাপেক্ষক φ = hc/λ₀

বা, φ = (6.63 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸)/(6.8 × 10⁻⁷)

বা, φ = 1.989 × 10⁻²⁵/(6.8 × 10⁻⁷)

বা, φ = 2.925 × 10⁻¹⁹ J

ইলেকট্রন-ভোল্টে, φ = 2.925 × 10⁻¹⁹/(1.6 × 10⁻¹⁹) = 1.83 eV

উত্তর: (ক) T_1/2 = 0.693/λ; (খ) φ = 2.93 × 10⁻¹⁹ J ≈ 1.83 eV