বুয়েট ২০২১ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

এখানে চারটি গেইটই NAND গেইট। পূরক (NOT) বোঝাতে ′ চিহ্ন ব্যবহার করা হলো।

প্রথম গেইটের আউটপুট,

Y₁ = (A·B)′

দ্বিতীয় ও তৃতীয় গেইটের আউটপুট,

Y₂ = (A·Y₁)′

Y₃ = (B·Y₁)′

শেষ গেইটের আউটপুট,

Q = (Y₂·Y₃)′

= Y₂′ + Y₃′ [ডি মরগানের উপপাদ্য]

= A·Y₁ + B·Y₁

= (A + B)·(A·B)′

= (A + B)·(A′ + B′)

= A·A′ + A·B′ + A′·B + B·B′

= A·B′ + A′·B [∵ A·A′ = B·B′ = 0]

∴ Q = A ⊕ B

সত্যক সারণি:

অর্থাৎ ইনপুট দুটি ভিন্ন হলে আউটপুট 1 এবং একই হলে আউটপুট 0; বর্তনীটি XOR গেইট হিসেবে কাজ করে।

উত্তর: Q = A ⊕ B (XOR গেইট); সত্যক সারণি উপরে দেখানো হলো।

দেওয়া আছে,

কর্ণ দুটির সংযোগ বিন্দু O

AO রোধ = 3 Ω, OB রোধ = 6 Ω

CO রোধ = 1 Ω, OD রোধ = 4 Ω

AC বাহুর কোষ = 6 V (A প্রান্ত ধনাত্মক)

BD বাহুর কোষ = 6 V (B প্রান্ত ধনাত্মক)

CD বাহুর কোষ = 4 V (C প্রান্ত ধনাত্মক)

D বিন্দুর বিভব শূন্য ধরি, V_D = 0

কোষগুলোর অভ্যন্তরীণ রোধ নেই, তাই

V_C = V_D + 4 = 4 V

V_A = V_C + 6 = 10 V

V_B = V_D + 6 = 6 V

(ক) A ও B বিন্দুর বিভব পার্থক্য নির্ণয়:

V_AB = V_A − V_B

= 10 − 6

∴ V_AB = 4 V

(খ) 1 Ω রোধে প্রবাহ নির্ণয়:

ধরি, O বিন্দুর বিভব V। O বিন্দুতে কার্শফের প্রবাহ সূত্র অনুযায়ী আগত প্রবাহগুলোর যোগফল শূন্য:

V_A − V3 + V_B − V6

+ V_C − V1 + V_D − V4 = 0

বা, 10 − V3 + 6 − V6

+ 4 − V1 + 0 − V4 = 0

উভয় পক্ষকে 12 দিয়ে গুণ করে,

4(10 − V) + 2(6 − V)

+ 12(4 − V) − 3V = 0

বা, 100 − 21V = 0

∴ V = 10021 = 4.76 V

যেহেতু V > V_C, তাই 1 Ω রোধে প্রবাহ O থেকে C-এর দিকে।

আমরা জানি,

I = V − V_CR_CO

বা, I = 100/21 − 41

= 1621 A

∴ I = 0.76 A

উত্তর: (ক) 4 V (A বিন্দু B-এর চেয়ে উচ্চ বিভবে); (খ) 0.76 A (O থেকে C-এর দিকে)

লক্ষ করো: কর্ণ দুটির ছেদবিন্দু O-কে সংযোগ বিন্দু এবং প্রতিটি কোষের লম্বা পাতকে ধনাত্মক প্রান্ত ধরা হয়েছে। এ থেকে 4 V কোষের ভেতর দিয়ে প্রবাহ I₁ = 0.98 A পাওয়া যায়, যা চিত্রের তীরের দিকেই (D থেকে C)।

দেওয়া আছে,

সংগ্রাহক প্রবাহ, I_C = 1.5 mA = 1.5 × 10⁻³ A

প্রবাহ বিবর্ধন গুণক, β = 49

ভূমি রোধ, R_B = 2 kΩ = 2 × 10³ Ω

সংগ্রাহক রোধ, R_C = 2.2 kΩ = 2.2 × 10³ Ω

V_CC = 13 V

I_B ও I_E নির্ণয়:

আমরা জানি,

β = I_CI_B

বা, I_B = I_Cβ = 1.5 × 10⁻³49

∴ I_B = 3.06 × 10⁻⁵ A = 30.6 μA

আবার, I_E = I_C + I_B

= 1.5 × 10⁻³ + 3.06 × 10⁻⁵

= 1.53 × 10⁻³ A = 1.53 mA

V_BE নির্ণয়:

চিত্রে I_B প্রবাহ নিঃসারক-প্রান্তের তার থেকে R_B হয়ে ভূমিতে ঢোকে। ভূমি–নিঃসারক লুপে কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র প্রয়োগ করে,

I_BR_B + V_BE = 0

বা, V_BE = −I_BR_B

= −3.06 × 10⁻⁵ × 2 × 10³

∴ V_BE = −0.061 V

V_CE নির্ণয়:

সংগ্রাহক–নিঃসারক লুপে কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র,

V_CC = I_CR_C + V_CE

বা, V_CE = V_CC − I_CR_C

= 13 − 1.5 × 10⁻³ × 2.2 × 10³

= 13 − 3.3

∴ V_CE = 9.7 V

V_BC নির্ণয়:

V_BC = V_BE + V_EC = V_BE − V_CE

= −0.061 − 9.7

∴ V_BC = −9.76 V

উত্তর: I_B = 30.6 μA; I_C = 1.5 mA (দেওয়া), I_E = 1.53 mA; V_BE = −0.061 V; V_CE = 9.7 V; V_BC = −9.76 V

লক্ষ করো: চিত্রের ভূমি-লুপে কোনো কোষ নেই, তাই বাস্তবে এভাবে ভূমি প্রবাহ চলতে পারে না; প্রশ্নে দেওয়া I_C ও β ধরে কার্শফের সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে বলে V_BE ঋণাত্মক এসেছে। I_C দেওয়া থাকায় নির্ণেয় তালিকার I_C সম্ভবত I_E বোঝানো হয়েছে, তাই I_E-ও নির্ণয় করা হলো।

দেওয়া আছে,

আদি ভর, m₁ = 18.5 g

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 27 + 273 = 300 K

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 32 + 273 = 305 K

চাপ P ও পাত্রের আয়তন V স্থির

বের হয়ে যাওয়া অক্সিজেন, Δm = ?

আমরা জানি,

PV = mMRT

P, V, M ও R স্থির বলে mT = ধ্রুবক

∴ m₁T₁ = m₂T₂

বা, m₂ = m₁ × T₁T₂

= 18.5 × 300305

= 18.197 g

∴ Δm = m₁ − m₂

= 18.5 − 18.197

= 0.303 g

উত্তর: 0.303 g (প্রায়), অর্থাৎ 9.48 × 10⁻³ mol অক্সিজেন বের হয়ে যাবে।

দেওয়া আছে,

বিভব পার্থক্য, V = 4000 kV = 4 × 10⁶ V

ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

নিশ্চল ভর, m₀ = 9.1 × 10⁻³¹ kg

আলোর বেগ, c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

গতিশীল ভর, m = ? এবং বেগ, v = ?

ইলেকট্রনের অর্জিত গতিশক্তি,

E_k = eV

= 1.6 × 10⁻¹⁹ × 4 × 10⁶

= 6.4 × 10⁻¹³ J

আমরা জানি,

E_k = (m − m₀)c²

বা, m = m₀ + E_kc²

= 9.1 × 10⁻³¹ + 6.4 × 10⁻¹³(3 × 10⁸)²

= 9.1 × 10⁻³¹ + 7.11 × 10⁻³⁰

∴ m = 8.02 × 10⁻³⁰ kg

আবার,

m = m₀1 − v²/c²

বা, 1 − v²/c² = m₀m

= 9.1 × 10⁻³¹8.02 × 10⁻³⁰ = 0.1135

বা, 1 − v²c² = 0.01288

বা, v = c1 − 0.01288

= 3 × 10⁸ × 0.99354

∴ v = 2.98 × 10⁸ m s⁻¹

উত্তর: ভর 8.02 × 10⁻³⁰ kg (নিশ্চল ভরের প্রায় 8.8 গুণ); বেগ 2.98 × 10⁸ m s⁻¹ (≈ 0.994c)

দেওয়া আছে,

ভর, m = 0.1 kg

বিস্তার, A = 0.1 m

সাম্যাবস্থানে গতিশক্তি, E_k = 8 × 10⁻³ J

আদি দশা, δ = 45° = π4

গতির সমীকরণ = ?

সাম্যাবস্থানে বেগ সর্বোচ্চ (v_max = ωA), তাই

E_k = 12mω²A²

বা, ω² = 2E_kmA²

= 2 × 8 × 10⁻³0.1 × (0.1)²

= 16

∴ ω = 4 rad s⁻¹

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ,

y = A sin(ωt + δ)

∴ y = 0.1 sin(4t + π4) m

উত্তর: y = 0.1 sin(4t + π/4) m

দেওয়া আছে,

পাত দুটির দূরত্ব, l = 1 m

বেগ, v = 50 km h⁻¹ = 50 × 10003600 m s⁻¹

= 13.89 m s⁻¹

বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = 250 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

উচ্চতার পার্থক্য, h = ?

ব্যাংকিং কোণ θ হলে, আমরা জানি,

tan θ = v²rg

= (13.89)²250 × 9.8

= 192.92450 = 0.0787

∴ θ = 4.50°

আবার, বাইরের পাত ভেতরের পাতের চেয়ে h উঁচু হলে,

sin θ = hl

বা, h = l sin θ

= 1 × sin 4.50°

= 0.0785 m

∴ h = 7.85 cm

উত্তর: 7.85 cm (প্রায়)

লক্ষ করো: θ খুব ছোট বলে sin θ ≈ tan θ ধরলে h ≈ 0.0787 m = 7.87 cm, যা প্রায় একই।

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক দক্ষতা, η₁ = 50% = 0.5

পরিবর্তিত দক্ষতা, η₂ = 60% = 0.6

তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 280 K

উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি, ΔT = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

প্রথম ক্ষেত্রে, 0.5 = 1 − 280T₁

বা, 280T₁ = 0.5

∴ T₁ = 560 K

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, উৎসের তাপমাত্রা T₁′ হলে,

0.6 = 1 − 280T₁′

বা, T₁′ = 2800.4 = 700 K

∴ ΔT = T₁′ − T₁ = 700 − 560

= 140 K

উত্তর: 140 K

দেওয়া আছে,

আদি দৈর্ঘ্য L ও প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A

নতুন দৈর্ঘ্য, L′ = L(1 + 0.15100) = 1.0015L

রোধের শতকরা পরিবর্তন = ?

টানলে তারের আয়তন অপরিবর্তিত থাকে,

AL = A′L′

বা, AA′ = L′L = 1.0015

আমরা জানি,

R = ρLA

∴ R′R = L′L × AA′

= 1.0015 × 1.0015

= (1.0015)² = 1.0030

রোধের শতকরা পরিবর্তন,

R′ − RR × 100%

= (1.0030 − 1) × 100%

= 0.30%

উত্তর: রোধ 0.30% (প্রায়) বৃদ্ধি পাবে।

দেওয়া আছে,

নদীর প্রস্থ, d = AB = 36 km = 3.6 × 10⁴ m

পানির সাপেক্ষে নৌকার বেগ, v_b = 10 m s⁻¹

তীরের সাথে নৌকার বেগের কোণ, θ = 37°

স্রোতের বেগ, v_r = 3 m s⁻¹ (A থেকে C-এর দিকে)

sin 37° ≈ 0.6, cos 37° ≈ 0.8

(ক) BC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

তীরের লম্ব বরাবর নৌকার বেগ,

v_b sin θ = 10 × 0.6 = 6 m s⁻¹

নদী পার হতে সময়,

t = dv_b sin θ

= 3.6 × 10⁴6 = 6000 s

তীর বরাবর মোট বেগ,

v_r + v_b cos θ = 3 + 10 × 0.8

= 11 m s⁻¹

∴ BC = (v_r + v_b cos θ) t

= 11 × 6000

= 66000 m = 66 km

(খ) সরাসরি B-তে যাওয়ার কোণ নির্ণয়:

ধরি, স্রোতের দিকের সাথে α কোণে রওনা দিতে হবে। তাহলে তীর বরাবর লব্ধি বেগ শূন্য হবে:

v_r + v_b cos α = 0

বা, cos α = −v_rv_b

= −310 = −0.3

∴ α = 107.46°

অর্থাৎ স্রোতের বিপরীত দিকে (উজানে) তীরের সাথে 180° − 107.46° = 72.54° কোণে, বা AB রেখা থেকে উজানের দিকে 17.46° হেলিয়ে রওনা দিতে হবে।

উত্তর: (ক) BC = 66 km; (খ) স্রোতের দিকের সাথে 107.46° কোণে (উজানের দিকে তীরের সাথে 72.54°)

লক্ষ করো: sin 37° ও cos 37°-এর সূক্ষ্ম মান (0.6018 ও 0.7986) নিলে BC ≈ 65.7 km হয়। মূল চিত্রে স্রোতের দিক দেখানো নেই; নৌকার বেগের তীর-বরাবর উপাংশের দিকেই (A থেকে C-এর দিকে) স্রোত ধরা হয়েছে, এবং C হলো নৌকার প্রকৃত পৌঁছানোর বিন্দু।

দেওয়া আছে,

চিড় দুটির দূরত্ব, a = 0.1 mm = 1 × 10⁻⁴ m

পর্দার দূরত্ব, D = 2 m

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 5000 Å = 5 × 10⁻⁷ m

ডোরার ক্রম, n = 10

(ক) দশম উজ্জ্বল ডোরার দূরত্ব নির্ণয়:

কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে n-তম উজ্জ্বল ডোরার দূরত্ব,

x_n = nλDa

= 10 × 5 × 10⁻⁷ × 21 × 10⁻⁴

∴ x₁₀ = 0.1 m = 10 cm

(খ) কৌণিক দূরত্ব নির্ণয়:

কৌণিক দূরত্ব θ হলে, আমরা জানি,

a sin θ = nλ

বা, sin θ = nλa

= 10 × 5 × 10⁻⁷1 × 10⁻⁴

= 0.05

∴ θ = sin⁻¹(0.05) = 2.87°

উত্তর: (ক) 0.1 m (কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে); (খ) 2.87° (≈ 0.05 rad)

দেওয়া আছে,

পারদস্তম্ভের উচ্চতা, h = 10 cm = 0.1 m

পারদের ঘনত্ব, ρ = 13.6 g cm⁻³ = 13600 kg m⁻³

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

প্রতি বিটে রক্তের আয়তন, ΔV = 75 cm³ = 75 × 10⁻⁶ m³

প্রতি সেকেন্ডে বিট সংখ্যা, f = 8060 s⁻¹

হার্টের ক্ষমতা, P = ?

রক্তের চাপ,

p = hρg = 0.1 × 13600 × 9.8

= 13328 Pa

প্রতি বিটে কৃতকাজ,

W = pΔV = 13328 × 75 × 10⁻⁶

= 0.9996 J

আমরা জানি, ক্ষমতা = প্রতি সেকেন্ডে কৃতকাজ

P = Wf = 0.9996 × 8060

∴ P = 1.33 W

উত্তর: 1.33 W

দেওয়া আছে,

মোট ভর, M = 3 kg (প্রথমে স্থির)

বৃহত্তর খণ্ডের ভর, m₁ = 3 × 35 = 1.8 kg

ক্ষুদ্র খণ্ড দুটির ভর, m₂ = m₃ = 3 × 15 = 0.6 kg

ক্ষুদ্র খণ্ড দুটির বেগ, v₂ = v₃ = 120 m s⁻¹ (পরস্পর লম্ব)

বৃহত্তর খণ্ডের বেগ, v₁ = ?

বিভক্তির আগে বস্তুটি স্থির, তাই মোট ভরবেগ শূন্য।

ক্ষুদ্র খণ্ড দুটির ভরবেগ,

p₂ = p₃ = 0.6 × 120 = 72 kg m s⁻¹

এরা পরস্পর লম্ব বলে এদের লব্ধি ভরবেগ,

p = p₂² + p₃²

= 72² + 72²

= 722 kg m s⁻¹

ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী বৃহত্তর খণ্ডের ভরবেগ এই লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী:

m₁v₁ = 722

বা, v₁ = 7221.8 = 402

∴ v₁ = 56.57 m s⁻¹

দিক: ক্ষুদ্র খণ্ড দুটির প্রত্যেকটির গতির দিকের সাথে 135° কোণে।

উত্তর: 402 ≈ 56.6 m s⁻¹, ক্ষুদ্র খণ্ড দুটির প্রত্যেকটির দিকের সাথে 135° কোণে