তিনটি স্থির বস্তু; একটি রিং, একটি নিরেট সিলিন্ডার এবং একটি নিরেট গোলক একই বাঁকা তলের উপর দিয়ে না পিছলিয়ে নিচের দিকে পড়তে থাকে। তিনটি বস্তুর ব্যাসার্ধ একই। কোন বস্তুটি সবচেয়ে বেশি বেগে ভূমিতে পৌঁছাবে?
দেওয়া আছে,
তিনটি বস্তুর ভর m ও ব্যাসার্ধ r একই
নামার উচ্চতা h একই
না পিছলিয়ে গড়ায়, তাই শক্তির সংরক্ষণ সূত্র প্রযোজ্য
ধরি, কেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক, I = mk2
ভূমিতে পৌঁছানোর বেগ v হলে, কৌণিক বেগ ω = v/r
স্থিতিশক্তির হ্রাস = রৈখিক ও ঘূর্ণন গতিশক্তির যোগফল
বা, mgh = (1/2)mv2 + (1/2)Iω2
= (1/2)mv2(1 + k2r2)
বা, v = 2gh/(1 + k2/r2)
রিংয়ের জন্য, I = mr2, k2/r2 = 1
∴ vরিং = gh = 1.000gh
নিরেট সিলিন্ডারের জন্য, I = (1/2)mr2, k2/r2 = 1/2
∴ vসিলিন্ডার = 4gh/3 = 1.155gh
নিরেট গোলকের জন্য, I = (2/5)mr2, k2/r2 = 2/5
∴ vগোলক = 10gh/7 = 1.195gh
অতএব vগোলক > vসিলিন্ডার > vরিং
উত্তর: নিরেট গোলকটি সবচেয়ে বেশি বেগে ভূমিতে পৌঁছাবে
একটি রাস্তা 100 m ব্যাসার্ধে বাঁক নিয়েছে। ঐ স্থানে রাস্তাটি চওড়া 5 m এবং ভিতরের কিনারা হতে বাইরের কিনারা 50 cm উঁচু। সর্বোচ্চ কত বেগে ঐ স্থানে নিরাপদে বাঁক নেয়া যাবে?
দেওয়া আছে,
বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = 100 m
রাস্তার প্রস্থ, l = 5 m
বাইরের কিনারার উচ্চতা, h = 50 cm = 0.5 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ, v = ?
ঢাল কোণ θ হলে, sinθ = hl = 0.55 = 0.1
tanθ = sinθ1 − sin2θ = 0.10.99 = 0.1005
আমরা জানি, ঢালু বাঁকে নিরাপদ বেগ,
v = rg tanθ
বা, v = 100 × 9.8 × 0.1005
বা, v = 98.5
∴ v = 9.92 m s−1
উত্তর: 9.92 m s−1 (প্রায় 35.7 km h−1)
লক্ষ করো: রাস্তা ও চাকার মধ্যে ঘর্ষণ উপেক্ষা করে নিরাপদ বেগ নির্ণয় করা হয়েছে।
ঘণ্টায় 40 মাইল বেগে চলমান একটি গাড়ির চালক 59 গজ দূরে একটি ছোট ছেলেকে দেখতে পেল। সঙ্গে সঙ্গে সে ব্রেকে চাপ দিল। ছেলেটির 1 ফুট আগে এসে গাড়িটি থেমে গেল। গাড়িটি থামাতে কত সময় লেগেছে এবং প্রযুক্ত বলের মান কত? আরোহী সমেত গাড়ির ওজন 1 টন।
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, u = 40 mile h−1
= (40 × 1609.3)/3600 = 17.88 m s−1
শেষ বেগ, v = 0
থামার দূরত্ব, s = 59 yd − 1 ft
= 177 ft − 1 ft = 176 ft
= 176 × 0.3048 = 53.64 m
গাড়ির ভর, m = 1 টন = 1000 kg
সময়, t = ? বল, F = ?
মন্দন নির্ণয়:
v2 = u2 − 2as
বা, 0 = (17.88)2 − 2a × 53.64
বা, a = 319.7/107.3 = 2.98 m s−2
সময় নির্ণয়:
v = u − at
বা, 0 = 17.88 − 2.98t
বা, t = 17.88/2.98
∴ t = 6.0 s
বল নির্ণয়:
F = ma = 1000 × 2.98
∴ F = 2980 N
উত্তর: সময় 6.0 s; বল ≈ 2980 N
লক্ষ করো: 1 টন = 1000 kg ধরা হয়েছে। ব্রিটিশ টন (2240 lb ≈ 1016 kg) ধরলে বল ≈ 3030 N।
50 kg ভরের এক ব্যক্তিসহ 1950 kg ভরের একটি গাড়ী স্থিরাবস্থা থেকে প্রথম 10 সেকেন্ডে সমত্বরণে চালালো। অতঃপর 10 মিনিট সমবেগে চালানোর পর ব্রেক চেপে 1 সেকেন্ডের মধ্যে গাড়ী থামাল। যাত্রা শুরুর 4 সেকেন্ড পর গাড়ীর বেগ 8 ms−1 হলে গাড়ী কর্তৃক অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব এবং গাড়ী থামাতে প্রযুক্ত বলের মান বের কর।
দেওয়া আছে,
মোট ভর, m = 1950 + 50 = 2000 kg
প্রথম পর্যায়: u = 0, t1 = 10 s
4 s পরে বেগ, v = 8 m s−1
দ্বিতীয় পর্যায় (সমবেগ): t2 = 10 min = 600 s
তৃতীয় পর্যায় (মন্দন): t3 = 1 s, শেষ বেগ = 0
প্রথম পর্যায়ের ত্বরণ নির্ণয়:
v = u + at থেকে,
a = 8 − 04 = 2 m s−2
10 s পরে বেগ, v1 = 0 + 2 × 10 = 20 m s−1
অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়:
প্রথম পর্যায়ে, s1 = (1/2)at12
= (1/2) × 2 × 102 = 100 m
দ্বিতীয় পর্যায়ে, s2 = v1t2
= 20 × 600 = 12000 m
তৃতীয় পর্যায়ে, s3 = v1 + 02 × t3
= 10 × 1 = 10 m
∴ মোট দূরত্ব, s = 100 + 12000 + 10
= 12110 m
থামাতে প্রযুক্ত বল নির্ণয়:
মন্দন, a′ = 0 − 201 = −20 m s−2
F = ma′ = 2000 × (−20)
= −40000 N
(ঋণাত্মক চিহ্ন বল গতির বিপরীতে)
উত্তর: মোট দূরত্ব 12110 m (≈ 12.11 km); থামাতে বল 4 × 104 N
একটি গুলি প্রতি সেকেন্ডে 200 মিটার সরল গতিতে চলে 50 cm পুরু একটি কাঠের গুঁড়িকে কোন রকমে ছেদ করে। ঐ একই ধরণের গুলি একই কাঠের 40 cm পুরু গুঁড়ি হতে কত বেগে বের হবে?
দেওয়া আছে,
গুলির আদিবেগ, u = 200 m s−1
গুঁড়ির পুরুত্ব, s1 = 50 cm = 0.5 m
দ্বিতীয় গুঁড়ির পুরুত্ব, s2 = 40 cm = 0.4 m
দ্বিতীয় গুঁড়ি থেকে বের হওয়ার বেগ, v = ?
"কোন রকমে ছেদ করে" মানে 0.5 m পার হয়ে গুলির বেগ শূন্য হয়। কাঠের বাধা বল ধ্রুব, তাই মন্দন a ধ্রুব।
একটি রেললাইনের বাঁকের ব্যাসার্ধ 450m এবং রেল লাইনের পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 1m। ঘন্টায় 75.6 km বেগে চলন্ত গাড়ীর ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় ব্যাংকিং এর জন্য বাইরের লাইনের পাতকে ভিতরের লাইনের পাত অপেক্ষা কতটুকু উঁচু করতে হবে?
স্থির পানির উপর ভাসমান একটি নৌকা হতে একজন লোক আনুভূমিক দিকে লাফ দিয়ে তীরে পৌঁছাল। বাকী লোক সহ নৌকার ভর 300 kg। লাফদেয়া লোকের ভর 60 kg। লাফের বেগ 20 ms−1। এমতাবস্থায় নৌকায় অবস্থিত 0.75 kg ভরের একটি স্থির বলকে কিক মারা হলো। ফলে ফুটবলটি একই দিকে 18 ms−1 বেগ প্রাপ্ত হলো। পা কর্তৃক প্রযুক্ত বলের ঘাত নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
ফুটবলের ভর, m = 0.75 kg
ফুটবলের আদিবেগ, u = 0 (স্থির বল)
শেষ বেগ, v = 18 m s−1
বলের ঘাত, J = ?
আমরা জানি, ঘাত = ভরবেগের পরিবর্তন
বা, J = mv − mu
বা, J = 0.75 × 18 − 0.75 × 0
বা, J = 13.5 kg m s−1
∴ J = 13.5 N s
উত্তর: 13.5 N s
লক্ষ করো: নৌকা ও লাফের তথ্য (300 kg, 60 kg, 20 m s−1) ঘাত নির্ণয়ে লাগে না। বলকে স্থির ধরে নেওয়া হয়েছে। বলটি নৌকার সাথে 4 m s−1 বেগে বিপরীত দিকে চলমান ধরলে ঘাত হতো 0.75 × (18 + 4) = 16.5 N s।
একটি বৈদ্যুতিক পাখার সুইচ অন করলে 10 বার পূর্ণ ঘূর্ণনের পর পাখাটির কৌণিক বেগ 20 rad/sec হয়। পাখাটির কৌণিক ত্বরণ বের কর, (a) 10 বার ঘূর্ণনে পাখাটি সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত না হলে, (b) 8 বার ঘূর্ণনে পাখাটি সম কৌণিক বেগ প্রাপ্ত হয়ে থাকলে।
দেওয়া আছে,
আদি কৌণিক বেগ, ω0 = 0 (সুইচ অন করার সময় পাখা স্থির)
শেষ কৌণিক বেগ, ω = 20 rad s−1
কৌণিক ত্বরণ, α = ?
আমরা জানি,
ω2 = ω02 + 2αθ
(a) সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত না হলে (10 বার ঘূর্ণনেই ত্বরণ চলে) নির্ণয়:
কৌণিক সরণ, θ = 10 × 2π = 20π rad
বা, (20)2 = 0 + 2 × α × 20π
বা, α = 400/(40π)
বা, α = 10/π
∴ α = 3.18 rad s−2
(b) 8 বার ঘূর্ণনে সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত হলে নির্ণয়:
এই ক্ষেত্রে 8 বার ঘূর্ণনের মধ্যেই ত্বরণ হয়ে 20 rad s−1 বেগ পায়; বাকি 2 বার সমকৌণিক বেগে ঘোরে।
একটি বৈদ্যুতিক পাখা মিনিটে 1500 বার ঘুরে। সুইচ বন্ধ করার 4 min পর পাখাটি বন্ধ হয়ে যায়। পাখাটির কৌণিক ত্বরণ কত? থেমে যাবার আগে পাখাটি কতবার ঘুরবে, তা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক কম্পাংক = 1500 rpm = 25 rps
প্রাথমিক কৌণিক বেগ, ω0 = 2π × 25 = 157.08 rad s−1
শেষ কৌণিক বেগ, ω = 0
সময়, t = 4 min = 240 s
কৌণিক ত্বরণ, α = ?
থামার আগে ঘূর্ণন সংখ্যা, N = ?
আমরা জানি,
ω = ω0 + αt
বা, 0 = 157.08 + α × 240
বা, α = −157.08240
∴ α = −0.655 rad s−2
আবার, θ = ω0t + (1/2)αt2
বা, θ = 157.08 × 240 + (1/2)(−0.6545)(240)2
বা, θ = 37699 − 18850
∴ θ = 18850 rad
ঘূর্ণন সংখ্যা, N = θ2π = 188506.283
∴ N = 3000
উত্তর: কৌণিক ত্বরণ −0.655 rad s−2 (মন্দন 0.655 rad s−2); থামার আগে 3000 বার ঘুরবে
একটি 10 N বল 2 kg ভরবিশিষ্ট একটি স্থির বস্তুর উপর ক্রিয়া করে। যদি 5 সেকেন্ড পর বলের ক্রিয়া বন্ধ হয়ে যায় তবে প্রথম হতে 12 সেকেন্ডে বস্তুটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
14 m দীর্ঘ ও 60 kg ওজনের একটি সুষম পাইপ A ও B দুই ব্যক্তি বহন করছে, A এর অবস্থান পাইপের এক প্রান্ত হতে 2 m দূরে এবং B এর অবস্থান পাইপের অপর প্রান্ত হতে 1 m দূরে। পাইপের ওজন A ও B এর মধ্যে কিভাবে ভাগ হবে তা নির্ণয়।
দেওয়া আছে,
পাইপের দৈর্ঘ্য = 14 m
পাইপের ওজন, W = 60 kg-wt
A এর অবস্থান: এক প্রান্ত থেকে 2 m
B এর অবস্থান: অপর প্রান্ত থেকে 1 m
A ও B এর বহন করা ওজন, FA = ? FB = ?
সুষম পাইপের ভারকেন্দ্র মধ্যবিন্দুতে, প্রান্ত থেকে 7 m দূরে।
A থেকে ভারকেন্দ্রের দূরত্ব = 7 − 2 = 5 m
B থেকে ভারকেন্দ্রের দূরত্ব = 7 − 1 = 6 m
A ও B এর মধ্যে দূরত্ব = 14 − 2 − 1 = 11 m
ভারসাম্যে, FA + FB = W = 60 ... (i)
B বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামকের সমতা,
FA × 11 = W × 6
বা, FA = 60 × 611
∴ FA = 32.73 kg-wt
(i) থেকে, FB = 60 − 32.73
∴ FB = 27.27 kg-wt
অনুপাত FA : FB = 6 : 5
উত্তর: A বহন করবে 32.73 kg-wt এবং B বহন করবে 27.27 kg-wt (অনুপাত 6 : 5)
একটি রাস্তা 60 m ব্যাসার্ধে বাঁক নিয়েছে। ওই স্থানে রাস্তাটি 6 m চওড়া এবং ভিতরের কিনারা হতে বাইরের কিনারা 0.6m উচু। সর্বোচ্চ কত বেগে ওই স্থানে নিরাপদ বাঁক নেওয়া সম্ভব?
একটি মিটার গেজ রেল লাইনের একটি বাঁকের ব্যাসার্ধ 816 মি.। ঘণ্টায় 72 কি. মি. বেগে চলন্ত একটি ট্রেনের নিরাপত্তার স্বার্থে বাঁকের স্থানে ব্যাংকিং এর জন্য বাঁকের বাইরের লাইনের পাতকে ভিতরের লাইনের পাত অপেক্ষা কত উঁচুতে রাখতে হবে?
100 m s−1 বেগে চলন্ত একটি বুলেট 1 m পুরু বালির স্তূপ ভেদ করে বেরিয়ে আসার সময় 40 m s−1 বেগ প্রাপ্ত হয়। 100 m s−1 বেগ সম্পূর্ণ বুলেটকে সম্পূর্ণ থামাতে কত মিটার পুরো বালুর স্তূপ প্রয়োজন?
একটি রেললাইনে দুটি পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব 1 m। রেলগাড়ি 50 km h−1 বেগে 250 m ব্যাসার্ধের একটি বাঁক নিরাপদে পার হতে হলে দুটি পাতের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে,
পাত দুটির দূরত্ব, l = 1 m
বেগ, v = 50 km h−1 = 50 × 10003600 m s−1
= 13.89 m s−1
বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = 250 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
উচ্চতার পার্থক্য, h = ?
ব্যাংকিং কোণ θ হলে, আমরা জানি,
tan θ = v2rg
= (13.89)2250 × 9.8
= 192.92450 = 0.0787
∴ θ = 4.50°
আবার, বাইরের পাত ভেতরের পাতের চেয়ে h উঁচু হলে,
sin θ = hl
বা, h = l sin θ
= 1 × sin 4.50°
= 0.0785 m
∴ h = 7.85 cm
উত্তর: 7.85 cm (প্রায়)
লক্ষ করো: θ খুব ছোট বলে sin θ ≈ tan θ ধরলে h ≈ 0.0787 m = 7.87 cm, যা প্রায় একই।
150 g ভরের একটি ক্রিকেট বল 12 m s−1 বেগে গতিশীল হয়ে একটি ব্যাট দ্বারা আঘাত করার ফলে বলটি 20 m s−1 বেগে ফিরে আসে। বলটির উপর ক্রিয়ারত বলের আঘাতের সময়কাল 0.01 s। বলটির উপর ব্যাটের গড় বল নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
ভর, m = 150 g = 0.15 kg
আদিবেগ, u = 12 m s−1
শেষবেগ (বিপরীত দিকে), v = −20 m s−1
সময়, t = 0.01 s
গড় বল, F = ?
আমরা জানি,
F = m(v − u)t
বা, F = 0.15 × (−20 − 12)0.01
বা, F = 0.15 × (−32)0.01
∴ F = −480 N
ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায়, বল বলটির আদি গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।
0.56 kg ভর বিশিষ্ট একটি মিটার স্কেলের 20 cm চিহ্নিত দাগের লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে মিটার স্কেলটির ঘূর্ণন জড়তা নিরূপণ কর। স্কেলটিকে পাতলা রড হিসেবে বিবেচনা কর।
72 km h−1 বেগে চলমান একটি গাড়ির চালক 30 m সামনে একটি বালককে দেখতে পেলেন। চালকটি সাথে সাথে ব্রেক চেপে দেওয়ায় গাড়িটি 10 m s−2 সমমন্দনে থেমে যায়। গাড়িটি বালকটির সামনে কতদূরে এসে থেমে গেল? গাড়িটির উপর প্রযুক্ত বলও নির্ণয় কর। আরোহীসহ গাড়ির ভর 1200 kg।
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, v0 = 72 km h−1
= 72 × 10003600 m s−1 = 20 m s−1
শেষবেগ, v = 0
মন্দন, a = 10 m s−2 (অর্থাৎ ত্বরণ −10 m s−2)
বালকের দূরত্ব, d = 30 m
আরোহীসহ গাড়ির ভর, m = 1200 kg
থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = ?
প্রযুক্ত বল, F = ?
আমরা জানি,
v2 = v02 − 2as
বা, 0 = (20)2 − 2 × 10 × s
বা, 20s = 400
∴ s = 20 m
∴ গাড়িটি বালকের সামনে থামবে
= d − s = 30 − 20 = 10 m দূরে
আবার, প্রযুক্ত বল,
F = ma
বা, F = 1200 × 10
∴ F = 1.2 × 104 N
বলটি ব্রেকজনিত বাধাদানকারী বল, তাই এর দিক গাড়ির গতির বিপরীতে।
উত্তর: বালকের 10 m সামনে থামবে; প্রযুক্ত বল 1.2 × 104 N (গতির বিপরীত দিকে)।
2.0 kg ভরের একটি বস্তু স্থির অবস্থায় থাকা আরেকটি বস্তুর সাথে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ ঘটালো এবং সংঘর্ষের পর প্রথম বস্তুটি তার আদিবেগের এক-চতুর্থাংশ বেগ নিয়ে একই দিকে চলতে থাকল। আঘাতপ্রাপ্ত বস্তুটির ভর কত?
দেওয়া আছে,
প্রথম বস্তুর ভর, m1 = 2.0 kg
প্রথম বস্তুর আদিবেগ = u1
দ্বিতীয় বস্তুর আদিবেগ, u2 = 0
সংঘর্ষের পর প্রথম বস্তুর বেগ, v1 = u14 (একই দিকে)
আঘাতপ্রাপ্ত বস্তুর ভর, m2 = ?
আমরা জানি, একমাত্রিক স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে (u2 = 0 হলে),
4, 5 এবং 6 একক ভরের তিনটি কণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 0, −1), (3, 2, 3) এবং (2, 1, 4) হলে z অক্ষের সাপেক্ষে তাদের জড়তার ভ্রামক ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
m1 = 4 একক, স্থানাঙ্ক (4, 0, −1)
m2 = 5 একক, স্থানাঙ্ক (3, 2, 3)
m3 = 6 একক, স্থানাঙ্ক (2, 1, 4)
z অক্ষের সাপেক্ষে I = ? এবং K = ?
আমরা জানি, z অক্ষ থেকে কণার লম্ব দূরত্ব2 = x2 + y2
