ইঞ্জিনিয়ারিং রিটেন · ২য় পত্র · অধ্যায় ৮
দেওয়া আছে,
কার্য অপেক্ষক, W0 = 3.45 eV = 3.45 × 1.6 × 10−19 J
= 5.52 × 10−19 J
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
সর্বোচ্চ তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hcλ0
বা, λ0 = hcW0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1085.52 × 10−19 m
= 1.989 × 10−255.52 × 10−19 m
= 3.60 × 10−7 m
উত্তর: 3.60 × 10−7 m (≈ 360 nm = 3600 Å)
দেওয়া আছে,
কম্পাঙ্ক, f = 6.0 × 1014 Hz
ক্ষমতা, P = 2.0 × 103 W
প্লাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
(ক) একটি ফোটনের শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = hf
= 6.63 × 10−34 × 6.0 × 1014
∴ E = 3.98 × 10−19 J
বা, E = 3.98 × 10−191.6 × 10−19 eV = 2.49 eV
(খ) প্রতি সেকেন্ডে ফোটন সংখ্যা নির্ণয়:
প্রতি সেকেন্ডে নিঃসৃত শক্তি = P
ধরি, প্রতি সেকেন্ডে ফোটন সংখ্যা = N
তাহলে, N × E = P
বা, N = PE
= 2.0 × 1033.98 × 10−19
∴ N = 5.03 × 1021 s−1
উত্তর: (ক) 3.98 × 10−19 J (2.49 eV); (খ) 5.03 × 1021 টি/s
দেওয়া আছে,
আপতিত বিকিরণের কম্পাঙ্ক, f = 4 × 1015 Hz
সর্বোচ্চ গতিশক্তি, Ek = 3.6 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
সূচন কম্পাঙ্ক, f0 = ?
আমরা জানি,
hf = hf0 + Ek
বা, hf0 = hf − Ek
বা, hf0 = 6.63 × 10−34 × 4 × 1015 − 3.6 × 10−19
বা, hf0 = 2.652 × 10−18 − 0.36 × 10−18
বা, hf0 = 2.292 × 10−18 J
বা, f0 = 2.292 × 10−186.63 × 10−34
∴ f0 = 3.46 × 1015 Hz
উত্তর: 3.46 × 1015 Hz
দেওয়া আছে,
যাত্রার সময় বয়স = 25 বছর
যানের বেগ, v = 1.8 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসাবে সময়, t = 30 বছর
c = 3 × 108 m s−1
মহাশূন্যচারীর নিজের হিসাবে সময়, t0 = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2/c2
বা, t0 = t1 − v2/c2
বা, t0 = 30 × 1 − (0.6)2
বা, t0 = 30 × 0.64
বা, t0 = 30 × 0.8
∴ t0 = 24 বছর
ফিরে এসে তার বয়স = 25 + 24 = 49 বছর
উত্তর: 49 বছর
লক্ষ করো: "পৃথিবীর হিসাবে 30 বছর" মানে পৃথিবীর ঘড়ির 30 বছর ধরা হয়েছে। 30 বছর মহাশূন্যচারীর নিজের ঘড়ির হলে পৃথিবীতে 37.5 বছর কাটত ও বয়স হতো 62.5 বছর।
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 2600 Å = 2.6 × 10−7 m
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.3 eV
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
e = 1.6 × 10−19 C
সর্বাধিক গতিশক্তি, Kmax = ?
আপতিত ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
বা, E = 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.6 × 10−7
বা, E = 7.65 × 10−19 J
বা, E = 7.65 × 10−191.6 × 10−19 eV = 4.78 eV
আইনস্টাইনের সমীকরণ অনুসারে,
Kmax = E − W0
বা, Kmax = 4.78 − 2.3
∴ Kmax = 2.48 eV
= 2.48 × 1.6 × 10−19 J
= 3.97 × 10−19 J
উত্তর: 2.48 eV (≈ 3.97 × 10−19 J)
দেওয়া আছে,
বাল্বের ক্ষমতা, P = 60 W
আলোক শক্তিতে রূপান্তর = 2%
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 5550 × 10−10 m
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
প্রতি সেকেন্ডে ফোটন সংখ্যা, n = ?
প্রতি সেকেন্ডে আলোক শক্তি,
E = 60 × 2100 = 1.2 J
একটি ফোটনের শক্তি,
ε = hcλ
বা, ε = 6.63 × 10−34 × 3 × 1085.55 × 10−7
বা, ε = 3.58 × 10−19 J
আমরা জানি,
n = Eε
বা, n = 1.23.58 × 10−19
∴ n = 3.35 × 1018
উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে 3.35 × 1018 টি ফোটন
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানে অতিবাহিত সময়, t0 = 1 দিন
পৃথিবীতে অতিবাহিত সময়, t = 2 দিন
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
মহাশূন্যযানের বেগ, v = ?
আমরা জানি, কাল দীর্ঘায়নের সূত্রে,
t = t01 − v2c2
বা, 2 = 11 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 12
বা, 1 − v2c2 = 14
বা, v2c2 = 34
বা, v = 32c = 0.866c
বা, v = 0.866 × 3 × 108
∴ v = 2.6 × 108 m s−1
উত্তর: 0.866c ≈ 2.6 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানে সময়, t0 = 1 দিন
পৃথিবীতে সময়, t = 2 দিন
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
যানের বেগ, v = ?
আমরা জানি, কাল দীর্ঘায়ন অনুযায়ী,
t = t0/1 − v2/c2
বা, 2 = 1/1 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = 1/2
বর্গ করে, 1 − v2/c2 = 1/4
বা, v2/c2 = 3/4
বা, v = (3/2)c
= 0.866 × 3 × 108
∴ v = 2.6 × 108 m s−1
উত্তর: 2.6 × 108 m s−1 (আলোর বেগের 0.866 গুণ)
দেওয়া আছে,
স্থির ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
গতি, v = 0.99c
গতিশীল ভর, m = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2/c2
বা, m = 9.1 × 10−311 − (0.99)2
বা, m = 9.1 × 10−310.0199
বা, m = 9.1 × 10−310.1411
∴ m = 6.45 × 10−30 kg
উত্তর: 6.45 × 10−30 kg
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
বেগ, v = 0.99c
চলমান ভর, m = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2/c2
= 9.1 × 10−311 − (0.99)2
= 9.1 × 10−310.0199
= 9.1 × 10−310.1411
∴ m = 6.45 × 10−30 kg (নিশ্চল ভরের প্রায় 7.09 গুণ)
উত্তর: 6.45 × 10−30 kg
দেওয়া আছে,
স্থির অবস্থায় দৈর্ঘ্য, L0 = 1 m
বেগ, v = 2.6 × 108 m s−1
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
পর্যবেক্ষিত দৈর্ঘ্য, L = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
= 1 × 1 − (2.63)2
= 1 − 0.7511
= 0.2489
∴ L = 0.499 m ≈ 0.5 m
উত্তর: প্রায় 0.5 m
দেওয়া আছে,
রকেটের প্রকৃত দৈর্ঘ্য, L0 = 100 m
পর্যবেক্ষকের মাপা দৈর্ঘ্য, L = 99 m
c = 3 × 108 m s−1
রকেটের বেগ, v = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2/c2
বা, LL0 = 1 − v2/c2
বা, 0.99 = 1 − v2/c2
বা, 0.9801 = 1 − v2/c2
বা, v2/c2 = 0.0199
বা, v/c = 0.141
∴ v = 0.141 × 3 × 108
= 4.23 × 107 m s−1
উত্তর: 4.23 × 107 m s−1 (≈ 0.141c)
দেওয়া আছে,
নভোচারীর প্রাথমিক বয়স = 25 বছর
মহাকাশযানের বেগ, v = 1.8 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসাবে ভ্রমণকাল, t0 = 30 বছর
c = 3 × 108 m s−1
মহাকাশযানের ঘড়ির সময়, t = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2/c2
v/c = 1.8 × 1083 × 108 = 0.6
বা, t = 30 × 1 − 0.36
বা, t = 30 × 0.8 = 24 বছর
∴ বর্তমান বয়স = 25 + 24 = 49 বছর
উত্তর: 49 বছর
লক্ষ করো: 30 বছর বলতে পৃথিবীর ঘড়িতে ভ্রমণকাল ধরা হয়েছে; নভোচারীর নিজের ঘড়িতে সময় কেটেছে 24 বছর।
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানের বেগ, v = 2.4 × 108 m s−1
c = 3 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসাবে সময়, t = 50 বছর
যাত্রার সময় বয়স = 30 বছর
আমরা জানি,
মহাশূন্যযানের হিসাবে সময় (আপেক্ষিকতার সময় প্রসারণ)
t0 = t1 − v2/c2
বা, t0 = 50 × 1 − (2.4/3)2
বা, t0 = 50 × 1 − 0.64
বা, t0 = 50 × 0.6 = 30 বছর
অতএব মহাশূন্যচারীর বয়স বেড়েছে 30 বছর।
∴ ফিরে এসে বয়স = 30 + 30 = 60 বছর
উত্তর: 60 বছর
দেওয়া আছে,
মহাকাশযানের বেগ, v = 0.98c
পৃথিবীর ঘড়িতে ভ্রমণকাল, Δt = 30 বছর
যাত্রার সময় মায়ের বয়স = 30 বছর, কন্যার বয়স = 10 বছর
মহাকাশযানের ঘড়িতে ভ্রমণকাল, Δt0 = ?
আমরা জানি,
Δt = Δt01 − v2/c2
বা, Δt0 = Δt 1 − v2/c2
= 30 × 1 − (0.98)2
= 30 × 0.0396
= 30 × 0.199
= 5.97 বছর
∴ ফেরার পর মায়ের বয়স = 30 + 5.97
= 35.97 বছর ≈ 36 বছর
কন্যার বয়স = 10 + 30 = 40 বছর
উত্তর: মায়ের বয়স প্রায় 36 বছর, কন্যার বয়স 40 বছর (কন্যা মায়ের চেয়ে বড় হবে)
লক্ষ করো: "পৃথিবীর হিসেবে 30 বছর" মানে পৃথিবীর ঘড়িতে 30 বছর ধরে নেওয়া হয়েছে।
দেওয়া আছে,
ইলেকট্রনের স্থির ভর, me = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্লাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ফোটনের শক্তি, E = mec2
কম্পাংক f, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য λ ও ভরবেগ p = ?
আমরা জানি,
E = mec2 = 9.1 × 10−31 × (3 × 108)2
= 8.19 × 10−14 J
(ক) কম্পাংক নির্ণয়:
E = hf
বা, f = Eh
= 8.19 × 10−146.63 × 10−34 Hz
= 1.235 × 1020 Hz
(খ) তরঙ্গ দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
λ = cf
= 3 × 1081.235 × 1020 m
= 2.43 × 10−12 m
(গ) ভরবেগ নির্ণয়:
p = hλ = Ec
= 8.19 × 10−143 × 108 kg m s−1
= 2.73 × 10−22 kg m s−1
উত্তর: (ক) কম্পাংক = 1.235 × 1020 Hz; (খ) তরঙ্গ দৈর্ঘ্য = 2.43 × 10−12 m; (গ) ভরবেগ = 2.73 × 10−22 kg m s−1
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানের সাপেক্ষে সময়, t0 = 1 দিন
পৃথিবীর সাপেক্ষে সময়, t = 2 দিন
মহাশূন্যযানের বেগ, v = ?
আমরা জানি,
t = t0/1 − v2/c2
বা, 2 = 1/1 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = 1/2
বা, 1 − v2/c2 = 1/4
বা, v2/c2 = 3/4
বা, v = (3/2)c = 0.866c
বা, v = 0.866 × 3 × 108
∴ v = 2.6 × 108 m s−1
উত্তর: 0.866c ≈ 2.6 × 108 m s−1
(ক) সম্পর্ক নির্ণয়:
ধরি, অবক্ষয় ধ্রুবক = λ, প্রাথমিক পরমাণু সংখ্যা = N0
ক্ষয়ের সূত্র অনুযায়ী, t সময় পর অবশিষ্ট পরমাণু, N = N0e−λt
অর্ধায়ু T1/2 সময়ে N = N0/2
বা, N0/2 = N0e−λT1/2
বা, eλT1/2 = 2
বা, λT1/2 = ln 2 = 0.693
∴ T1/2 = 0.693/λ
(খ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = 6800 Å = 6.8 × 10−7 m
h = 6.63 × 10−34 J s, c = 3 × 108 m s−1, e = 1.6 × 10−19 C
আমরা জানি, কার্যাপেক্ষক φ = hc/λ0
বা, φ = (6.63 × 10−34 × 3 × 108)/(6.8 × 10−7)
বা, φ = 1.989 × 10−25/(6.8 × 10−7)
বা, φ = 2.925 × 10−19 J
ইলেকট্রন-ভোল্টে, φ = 2.925 × 10−19/(1.6 × 10−19) = 1.83 eV
উত্তর: (ক) T1/2 = 0.693/λ; (খ) φ = 2.93 × 10−19 J ≈ 1.83 eV
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 1000 Å = 10−7 m
নিবৃত্তি বিভব, V0 = 1.2 V
c = 3 × 108 m s−1, h = 6.63 × 10−34 J s, e = 1.6 × 10−19 C
(ক) কম্পাঙ্ক নির্ণয়:
আমরা জানি, c = fλ
বা, f = cλ
= 3 × 10810−7
∴ f = 3 × 1015 Hz
(খ) আপতিত রশ্মির শক্তি নির্ণয়:
E = hf = 6.63 × 10−34 × 3 × 1015
= 1.989 × 10−18 J
= 1.989 × 10−181.6 × 10−19 eV
∴ E = 12.43 eV
(গ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:
আমরা জানি, E = W0 + eV0
বা, W0 = E − eV0
= 12.43 eV − 1.2 eV
∴ W0 = 11.23 eV = 1.80 × 10−18 J
উত্তর: (ক) 3 × 1015 Hz; (খ) 1.99 × 10−18 J (12.43 eV); (গ) 11.23 eV (1.80 × 10−18 J)
দেওয়া আছে,
কার্য-অপেক্ষক, W0 = 4 eV
= 4 × 1.6 × 10−19 = 6.4 × 10−19 J
আলোর কম্পাঙ্ক, f = 1015 Hz
h = 6.63 × 10−34 J s
me = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের বেগ, v = ?
ফোটনের শক্তি:
E = hf = 6.63 × 10−34 × 1015
= 6.63 × 10−19 J
= 4.14 eV
E = 6.63 × 10−19 J > W0 = 6.4 × 10−19 J
তাই ইলেকট্রন নিঃসৃত হবে।
গতিশক্তি:
K = hf − W0
= 6.63 × 10−19 − 6.4 × 10−19
= 2.3 × 10−20 J
আমরা জানি, K = (1/2)mev2
বা, v = 2K/me
= (2 × 2.3 × 10−20)/(9.1 × 10−31)
= 5.05 × 1010
∴ v = 2.25 × 105 m s−1
উত্তর: হ্যাঁ, ইলেকট্রন নিঃসৃত হবে; সর্বোচ্চ বেগ ≈ 2.25 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
আপতিত কম্পাঙ্ক, f = 7.6×1014 Hz
ইলেকট্রনের সর্বোচ্চ গতিশক্তি, Ek = 1.8×10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.62×10−34 J s
সর্বনিম্ন (সূচন) কম্পাঙ্ক, f0 = ?
আমরা জানি,
আইনস্টাইনের আলোক-তড়িৎ সমীকরণ,
hf = W0 + Ek
বা, W0 = hf − Ek
= 6.62×10−34 × 7.6×1014 − 1.8×10−19
= 5.031×10−19 − 1.8×10−19
= 3.231×10−19 J
আবার, W0 = hf0
বা, f0 = W0h
= 3.231×10−196.62×10−34
= 4.88×1014 Hz
উত্তর: সর্বনিম্ন কম্পাঙ্ক ≈ 4.88×1014 Hz
দেওয়া আছে,
মোট শক্তি, E = 1.5 E0
c = 3 × 108 m s−1
দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
E = E01 − v2/c2
বা, 1.5 E0 = E01 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = 11.5 = 23
বা, 1 − v2/c2 = 49
বা, v2/c2 = 59
বা, v = 53 c
= 0.745 × 3 × 108
∴ v = 2.236 × 108 m s−1
উত্তর: 2.24 × 108 m s−1 (≈ 0.745c)
দেওয়া আছে,
স্থির ভর, m0 = 99 kg
গতিশীল অবস্থায় ভর, m = 100 kg
c = 3 × 108 m s−1
বেগ, v = ?
আমরা জানি,
m = m0/1 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = m0/m = 99/100
বা, 1 − v2/c2 = 0.9801
বা, v2/c2 = 0.0199
বা, v/c = 0.0199 = 0.141
বা, v = 0.141 × 3 × 108
∴ v = 4.23 × 107 m s−1
উত্তর: 4.23 × 107 m s−1 (আলোর বেগের প্রায় 14.1%)
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 4000 kV = 4 × 106 V
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
গতিশীল ভর, m = ? এবং বেগ, v = ?
ইলেকট্রনের অর্জিত গতিশক্তি,
Ek = eV
= 1.6 × 10−19 × 4 × 106
= 6.4 × 10−13 J
আমরা জানি,
Ek = (m − m0)c2
বা, m = m0 + Ekc2
= 9.1 × 10−31 + 6.4 × 10−13(3 × 108)2
= 9.1 × 10−31 + 7.11 × 10−30
∴ m = 8.02 × 10−30 kg
আবার,
m = m01 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = m0m
= 9.1 × 10−318.02 × 10−30 = 0.1135
বা, 1 − v2c2 = 0.01288
বা, v = c1 − 0.01288
= 3 × 108 × 0.99354
∴ v = 2.98 × 108 m s−1
উত্তর: ভর 8.02 × 10−30 kg (নিশ্চল ভরের প্রায় 8.8 গুণ); বেগ 2.98 × 108 m s−1 (≈ 0.994c)
দেওয়া আছে,
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = 230 nm
= 2.3 × 10−7 m
সর্বোচ্চ গতিশক্তি, Kmax = 1.5 eV
= 1.5 × 1.6 × 10−19 J = 2.4 × 10−19 J
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = ?
আমরা জানি,
কার্যাপেক্ষক, W0 = hcλ0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.3 × 10−7
= 8.65 × 10−19 J
আবার, আইনস্টাইনের সমীকরণ,
hcλ = W0 + Kmax
বা, hcλ = 8.65 × 10−19 + 2.4 × 10−19
বা, hcλ = 1.105 × 10−18 J
বা, λ = 1.989 × 10−251.105 × 10−18
= 1.80 × 10−7 m
∴ λ = 180 nm
উত্তর: 180 nm
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 80 kV = 8 × 104 V
e = 1.6 × 10−19 C
m = 9.1 × 10−31 kg
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
(ক) সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
eV = 12 mvmax2
বা, vmax = 2eVm
= 2 × 1.6 × 10−19 × 8 × 1049.1 × 10−31
= 2.81 × 1016
∴ vmax = 1.68 × 108 m s−1
(খ) সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয়:
এক্স-রে ফোটনে রূপান্তরিত শক্তি,
E = 2% × eV
= 0.02 × 1.6 × 10−19 × 8 × 104
= 2.56 × 10−16 J
আমরা জানি,
E = hcλmin
বা, λmin = hcE
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.56 × 10−16
= 7.77 × 10−10 m
∴ λmin = 0.777 nm
উত্তর: (ক) 1.68 × 108 m s−1; (খ) 0.777 nm
লক্ষ করো: এখানে প্রচলিত (অনাপেক্ষিক) সূত্রে বেগ বের করা হয়েছে। বেগ আলোর বেগের অর্ধেকেরও বেশি হওয়ায় আপেক্ষিক তত্ত্ব ধরলে প্রকৃত বেগ প্রায় 1.51 × 108 m s−1। আর বাস্তবে 2% হলো টিউবের দক্ষতা; কোনো ইলেকট্রনের পুরো শক্তি একটি ফোটনে গেলে প্রকৃত সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য hc/eV ≈ 0.0155 nm। প্রশ্নের শর্ত (2% শক্তি ফোটনে যায়) মেনে উত্তর 0.777 nm।
দেওয়া আছে,
λ1 = 250 nm = 250 × 10−9 m
নিবৃত্তি বিভব, V1 = 4 V
λ2 = 300 nm = 300 × 10−9 m
h = 6.63 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
e = 1.6 × 10−19 C
নিবৃত্তি বিভব, V2 = ?
আমরা জানি (আইনস্টাইনের সমীকরণ),
hcλ = W0 + eVs
প্রথম ক্ষেত্রে,
hcλ1 = 6.63 × 10−34 × 3 × 108250 × 10−9
= 7.956 × 10−19 J
∴ W0 = hcλ1 − eV1
= 7.956 × 10−19 − 1.6 × 10−19 × 4
= 1.556 × 10−19 J
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
hcλ2 = 6.63 × 10−34 × 3 × 108300 × 10−9
= 6.63 × 10−19 J
∴ eV2 = hcλ2 − W0
= 6.63 × 10−19 − 1.556 × 10−19
= 5.074 × 10−19 J
∴ V2 = 5.074 × 10−191.6 × 10−19 = 3.17 V
উত্তর: 3.17 V
দেওয়া আছে,
স্থির কাঠামোয় ঘনত্ব, ρ0 = 19.3 × 103 kg m−3
আপেক্ষিক বেগ, v = 0.9c
চলমান পর্যবেক্ষকের কাছে ঘনত্ব, ρ = ?
চলমান পর্যবেক্ষকের কাছে স্বর্ণখণ্ডের ভর বাড়ে, গতির দিকে (x-অক্ষ) দৈর্ঘ্য কমে, লম্ব দুই দিকের মাত্রা অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
m = m01 − v2/c2
L = L01 − v2/c2
∴ আয়তন, V = V01 − v2/c2
∴ ρ = mV = ρ01 − v2/c2
এখানে, 1 − v2c2 = 1 − (0.9)2 = 0.19
বা, ρ = 19.3 × 1030.19
∴ ρ = 1.016 × 105 kg m−3
উত্তর: 1.016 × 105 kg m−3 (≈ 101.6 × 103 kg m−3)
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 3000 Å = 3 × 10−7 m
কার্যাপেক্ষক, φ = 2.28 eV
= 2.28 × 1.6 × 10−19 J
= 3.648 × 10−19 J
h = 6.62 × 10−34 J s
c = 3 × 108 m s−1
m = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের বেগ, v = ?
আমরা জানি,
hcλ = φ + (1/2)mv2
বা, (1/2)mv2 = hcλ − φ
= 6.62 × 10−34 × 3 × 1083 × 10−7 − 3.648 × 10−19
= 6.62 × 10−19 − 3.648 × 10−19
= 2.972 × 10−19 J
বা, v2 = 2 × 2.972 × 10−199.1 × 10−31
= 6.532 × 1011
∴ v = 8.08 × 105 m s−1
উত্তর: 8.08 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
প্রতিটি খণ্ডের নিশ্চল ভর, m0 = 1 kg
মূল বস্তুর সাপেক্ষে প্রতিটি খণ্ডের বেগ, v = 0.6c (বিপরীত দিকে)
মূল বস্তুর নিশ্চল ভর, M0 = ?
মূল বস্তুটি স্থির ছিল, তাই বিস্ফোরণের আগে মোট শক্তি = M0c2। দুই খণ্ড সমান ভরের ও সমান দ্রুতিতে বিপরীত দিকে যায়, ফলে ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে।
আমরা জানি, প্রতিটি খণ্ডের মোট শক্তি,
E = m0c21 − v2/c2
এখানে, 1 − (0.6)2 = 0.64 = 0.8
শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী,
M0c2 = 2 × m0c20.8
বা, M0 = 2 × 10.8
∴ M0 = 2.5 kg
অর্থাৎ নিশ্চল ভর 2 kg থেকে 0.5 kg বেশি; এই বাড়তি ভরের সমতুল্য শক্তিই খণ্ড দুটির গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়েছে।
উত্তর: 2.5 kg
লক্ষ করো: এখানে "পরস্পর 0.6c বেগে দূরে সরে গেল" বলতে প্রতিটি খণ্ড মূল বস্তুর (স্থির কাঠামোর) সাপেক্ষে 0.6c বেগে বিপরীত দিকে যাচ্ছে ধরা হয়েছে (প্রচলিত পাঠ)। যদি একটি খণ্ডের সাপেক্ষে অন্যটির বেগ 0.6c ধরা হয়, তবে প্রতিটির বেগ c/3 এবং M0 ≈ 2.12 kg হয়।
দেওয়া আছে,
আপতিত তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 0.40 nm = 4 × 10−10 m
বিক্ষেপণ কোণ, θ = 150°
h = 6.63 × 10−34 J s
me = 9.1 × 10−31 kg
c = 3 × 108 m s−1
বিক্ষিপ্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ′ = ?
বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ = ?
কম্পটন বিক্ষেপণ সূত্র অনুযায়ী,
λ′ − λ = hmec(1 − cos θ)
বা, λ′ = λ + hmec(1 − cos 150°)
এখানে, h/(mec) = 6.63 × 10−349.1 × 10−31 × 3 × 108
বা, h/(mec) = 2.429 × 10−12 m
এবং 1 − cos 150° = 1 + 0.866 = 1.866
বা, λ′ = 4 × 10−10 + 2.429 × 10−12 × 1.866
বা, λ′ = 4 × 10−10 + 4.53 × 10−12
∴ λ′ = 4.045 × 10−10 m = 0.4045 nm
ফোটনের বেগ সর্বদা আলোর বেগের সমান, তাই বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ = c = 3 × 108 m s−1
উত্তর: বিক্ষিপ্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্য 0.4045 nm (4.045 × 10−10 m); বেগ 3 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
বেগ, v = 0.9c
c = 3 × 108 m s−1
গতিশক্তি, Ek = ?
আমরা জানি,
Ek = mc2 − m0c2
বা, Ek = m0c2{ 1/1 − v2/c2 − 1 }
এখানে, 1 − v2/c2 = 1 − 0.81 = 0.19
বা, 1/0.19 = 2.2942
বা, Ek = 9.1 × 10−31 × (3 × 108)2 × 1.2942
বা, Ek = 8.19 × 10−14 × 1.2942
∴ Ek = 1.06 × 10−13 J
e = 1.6 × 10−19 C ধরে, Ek = 1.06 × 10−13/(1.6 × 10−13) = 0.662 MeV
উত্তর: 1.06 × 10−13 J (≈ 0.662 MeV)
দেওয়া আছে,
প্রথম বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ, নিবৃত্ত বিভব V1 = 4.8 V
দ্বিতীয় বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য 2λ, নিবৃত্ত বিভব V2 = 1.6 V
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = ? (λ এর সাপেক্ষে)
আমরা জানি, আইনস্টাইনের আলোকতড়িৎ সমীকরণ,
hc/λ = φ0 + eV0
প্রথম ক্ষেত্রে, hcλ = φ0 + 4.8e ...... (i)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, hc2λ = φ0 + 1.6e ...... (ii)
(i) − (ii) করে, hc2λ = 3.2e
বা, hcλ = 6.4e
(i) থেকে, φ0 = 6.4e − 4.8e = 1.6e
আবার, φ0 = hcλ0
বা, hcλ0 = 1.6e
∴ λ0λ = hc/λhc/λ0 = 6.4e1.6e = 4
∴ λ0 = 4λ
উত্তর: λ0 = 4λ (সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রথম তরঙ্গদৈর্ঘ্যের 4 গুণ)
দেওয়া আছে,
পিতার নিজস্ব কাঠামোয় যাত্রাকাল, Δt0 = 2 + 2 = 4 বছর
যাত্রার শুরুতে পিতা কন্যার চেয়ে 20 বছরের বড়, শেষে 20 বছরের ছোট।
মহাকাশযানের বেগ, v = ?
ধরি, পৃথিবীর কাঠামোয় যাত্রাকাল Δt বছর।
যাত্রার শুরুতে পিতার বয়স − কন্যার বয়স = 20
শেষে পিতার বয়স − কন্যার বয়স = −20
পিতার বয়স বাড়ে 4 বছর, কন্যার বয়স বাড়ে Δt বছর।
∴ 20 + 4 − Δt = −20
বা, Δt = 44 বছর
আমরা জানি, Δt = Δt01 − v2/c2
বা, 44 = 41 − v2/c2
বা, 1 − v2/c2 = 1/11
বা, 1 − v2/c2 = 1/121
বা, v2/c2 = 120/121
∴ v = 0.9959c
= 0.9959 × 3 × 108 m s−1
= 2.988 × 108 m s−1
উত্তর: v ≈ 0.996c ≈ 2.99 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
Ag-এর সূচন কম্পাংক, ν0Ag = 6.033 × 1014 Hz
Au-এর সূচন কম্পাংক, ν0Au = 4.416 × 1014 Hz
Ag-এর বিভব, VAg = 2.25 V
Au-এর বিভব, VAu = 1.58 V
ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10−19 C
(ক) প্ল্যাংকের ধ্রুবক নির্ণয়:
আমরা জানি, আলোক তড়িৎক্রিয়ায়,
hν = hν0Ag + eVAg ... (i)
hν = hν0Au + eVAu ... (ii)
(i) ও (ii) থেকে,
h(ν0Ag − ν0Au) = e(VAg − VAu) (মানের হিসাবে)
বা, h = e(VAg − VAu)ν0Ag − ν0Au
বা, h = 1.6 × 10−19 × 0.671.617 × 1014
∴ h = 6.63 × 10−34 J s
(খ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:
আমরা জানি, W0 = hν0
Ag-এর জন্য, W0 = 6.63 × 10−34 × 6.033 × 1014
= 4.00 × 10−19 J
= 4.00 × 10−191.6 × 10−19 eV = 2.50 eV
Au-এর জন্য, W0 = 6.63 × 10−34 × 4.416 × 1014
= 2.93 × 10−19 J
= 2.93 × 10−191.6 × 10−19 eV = 1.83 eV
উত্তর: (ক) h = 6.63 × 10−34 J s; (খ) W0(Ag) = 4.00 × 10−19 J = 2.50 eV, W0(Au) = 2.93 × 10−19 J = 1.83 eV
লক্ষ করো: একই আলোয় বেশি সূচন কম্পাংকের ধাতুর নিবৃত্তি বিভব বেশি হওয়ার কথা নয়; প্রশ্নের ডেটা অসংগত। সূচন কম্পাংক ও বিভবের পার্থক্যের মানের অনুপাত ধরে h = 6.63 × 10−34 J s পাওয়া যায়, যা সঠিক পরিচিত মানের সাথে মেলে।
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 1.8 eV = 1.8 × 1.6 × 10−19 J = 2.88 × 10−19 J
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 400 nm = 4 × 10−7 m
h = 6.63 × 10−34 J s, c = 3 × 108 m s−1
e = 1.6 × 10−19 C, me = 9.1 × 10−31 kg
ফোটনের শক্তি, E = hcλ = 6.63 × 10−34 × 3 × 1084 × 10−7
= 4.97 × 10−19 J
আমরা জানি, E = W0 + Kmax
বা, Kmax = 4.97 × 10−19 − 2.88 × 10−19
= 2.09 × 10−19 J
(ক) নিবৃত্ত বিভব নির্ণয়:
eV0 = Kmax
বা, V0 = 2.09 × 10−191.6 × 10−19
∴ V0 = 1.31 V
(খ) সর্বোচ্চ গতিবেগ নির্ণয়:
Kmax = (1/2)mevmax2
বা, vmax = 2Kmaxme
বা, vmax = 2 × 2.09 × 10−199.1 × 10−31
বা, vmax = 4.59 × 1011
∴ vmax = 6.78 × 105 m s−1
উত্তর: (ক) 1.31 V; (খ) 6.78 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
কার্য অপেক্ষক, φ = 4 eV
আপতিত আলোর কম্পাঙ্ক, f = 1015 Hz
h = 6.63 × 10−34 J s, e = 1.6 × 10−19 C
সর্বোচ্চ গতিশক্তি, Kmax = ?
আমরা জানি,
আইনস্টাইনের আলোক তড়িৎ সমীকরণ,
hf = φ + Kmax
বা, Kmax = hf − φ
বা, Kmax = 6.63 × 10−34 × 10151.6 × 10−19 eV − 4 eV
বা, Kmax = 4.14375 eV − 4 eV
∴ Kmax = 0.144 eV
উত্তর: 0.144 eV (≈ 2.3 × 10−20 J)
লক্ষ করো: প্রশ্নে কম্পাঙ্ক "10 Hertz" ছাপা; কম্পাঙ্ক 1015 Hz ধরে সমাধান করা হলো (10 Hz হলে আলোক তড়িৎ নিঃসরণ সম্ভব নয়)।
পরীক্ষা ও প্র্যাকটিস
ভর্তি পরীক্ষা
লিখিত ও সমাধান
শেখা ও রেফারেন্স
প্রিমিয়াম