তরঙ্গ

দেওয়া আছে,

এরোপ্লেনের বেগ, v = 288 km h⁻¹ = 80 m s⁻¹

শব্দের বেগ, v_s = 350 m s⁻¹

সময়, t = 3 s

উচ্চতা, h = ?

3 s এ এরোপ্লেন অনুভূমিকে যায়, d = vt = 80 × 3 = 240 m

3 s এ শব্দ অতিক্রম করে, s = v_st = 350 × 3 = 1050 m

শব্দ ভূমিতে পৌঁছে প্রতিফলিত হয়ে এরোপ্লেনের নতুন অবস্থানে ফেরে।

ভূমিকে আয়না ধরলে শব্দের পথ = উৎসের প্রতিবিম্ব (ভূমির h নিচে) থেকে এরোপ্লেনের নতুন অবস্থান পর্যন্ত সরলরেখার দৈর্ঘ্য।

এই রেখার অনুভূমিক অংশ = 240 m, উলম্ব অংশ = 2h

পিথাগোরাসের সূত্রে,

(2h)² + (240)² = (1050)²

বা, 4h² = 1102500 − 57600

= 1044900

বা, 2h = 1022.2

∴ h = 511.1 m

উত্তর: এরোপ্লেনের উচ্চতা ≈ 511 m

দেওয়া আছে,

প্লেনের বেগ, u = 200 km h⁻¹ = 200 × 10003600 = 55.56 m s⁻¹

সময়, t = 3 s

শব্দের বেগ, v = 340 m s⁻¹

উচ্চতা, h = ?

3 s-এ শব্দ অতিক্রম করে = vt = 340 × 3 = 1020 m

3 s-এ প্লেন অনুভূমিকভাবে সরে = ut = 55.56 × 3 = 166.7 m

শব্দ ভূমিতে প্রতিফলিত হয়ে সোজা পথে আসা-যাওয়া করে; প্রতিফলন বিন্দু প্লেনের দুই অবস্থানের মধ্যবিন্দুর ঠিক নিচে। তাই প্রতিটি পথ সমান, অনুভূমিক দূরত্ব = 166.7/2 = 83.3 m।

এক দিকের পথ, s = 10202 = 510 m

পিথাগোরাসের সূত্রে, h² + (83.3)² = (510)²

বা, h² = 260100 − 6944

বা, h² = 253156

∴ h = 503 m

উত্তর: প্লেনের উচ্চতা প্রায় 503 m

লক্ষ করো: প্লেনের গতি অগ্রাহ্য করলে h = 510 m পাওয়া যায়; প্লেনের বেগ দেওয়া থাকায় তা হিসাবে ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

তরঙ্গের সমীকরণ, y = 5 sin(300πt − 1.57x)

আমরা জানি, অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ,

y = A sin(ωt − kx)

তুলনা করে পাই, A = 5 m, ω = 300π rad s⁻¹, k = 1.57 m⁻¹

(ক) বিস্তার, A = 5 m

(খ) কম্পাঙ্ক, f = ω2π

বা, f = 300π2π

∴ f = 150 Hz

(গ) তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 2πk = 2 × 3.141.57 = 4 m

বেগ, v = fλ = 150 × 4

∴ v = 600 m s⁻¹

(ঘ) পর্যায়কাল, T = 1f = 1150

∴ T = 6.67 × 10⁻³ s

উত্তর: বিস্তার 5 m; কম্পাঙ্ক 150 Hz; বেগ 600 m s⁻¹; পর্যায়কাল 6.67 × 10⁻³ s

দেওয়া আছে,

প্রথম অবস্থানে প্রতিধ্বনি শুনতে সময়, t₁ = 3 s

পাহাড়ের দিকে অগ্রসর হয়েছেন = 550 ft

দ্বিতীয় অবস্থানে প্রতিধ্বনি শুনতে সময়, t₂ = 2 s

ধরি, শব্দের বেগ = v ft s⁻¹, প্রথম অবস্থানের দূরত্ব = d ft

প্রতিধ্বনিতে শব্দ যায় ও ফিরে আসে, অর্থাৎ দ্বিগুণ দূরত্ব অতিক্রম করে।

প্রথম ক্ষেত্রে, 2d = 3v ......(1)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে পাহাড় থেকে দূরত্ব = (d − 550) ft

তাই, 2(d − 550) = 2v

বা, d − 550 = v

বা, d = v + 550 ......(2)

(1) নং এ (2) এর মান বসিয়ে,

2(v + 550) = 3v

বা, 2v + 1100 = 3v

বা, v = 1100 ft s⁻¹

(2) থেকে, d = 1100 + 550

∴ d = 1650 ft

উত্তর: শব্দের বেগ 1100 ft s⁻¹; প্রথম অবস্থান থেকে পাহাড়ের দূরত্ব 1650 ft

দেওয়া আছে,

পাথরের আদিবেগ, u = 0

তলায় পৌঁছানোর বেগ, v = 100 m s⁻¹

মোট সময় = 15 s

g = 9.8 m s⁻²

শব্দের বেগ, v_s = ?

কুয়ার গভীরতা:

v² = 2gh

বা, h = (100)²/(2 × 9.8)

= 510.2 m

পাথরের পড়ার সময়:

v = gt₁

বা, t₁ = 100/9.8 = 10.20 s

শব্দের ওঠার সময়:

t₂ = 15 − 10.20 = 4.80 s

শব্দের বেগ:

v_s = h/t₂ = 510.2/4.80

∴ v_s = 106 m s⁻¹

উত্তর: ≈ 106 m s⁻¹

লক্ষ করো: প্রশ্নের প্রদত্ত তথ্য থেকে এই মান পাওয়া যায়; বাতাসে শব্দের প্রকৃত বেগ (≈ 332 m s⁻¹) এর চেয়ে এটি অনেক কম।

দেওয়া আছে,

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 600 Hz (উৎস স্থির)

শব্দের বেগ, v = 300 m s⁻¹

আরোহীর বেগ, v_o = 16 km h⁻¹

= 160003600 = 4.44 m s⁻¹

অতিক্রম করার পূর্বে (আরোহী উৎসের দিকে আসছে):

f₁ = v + v_ov × f

= 300 + 4.44300 × 600

= 608.9 Hz

অতিক্রম করার পরে (আরোহী উৎস থেকে দূরে যাচ্ছে):

f₂ = v − v_ov × f

= 300 − 4.44300 × 600

= 591.1 Hz

উত্তর: অতিক্রমের পূর্বে ≈ 608.9 Hz; পরে ≈ 591.1 Hz

দেওয়া আছে,

ভ্যাকুয়াম ক্লিনারের তীব্রতা লেভেল, L₁ = 85 dB

টেলিভিশনের তীব্রতা লেভেল, L₂ = 78 dB

শ্রাব্যতার সীমা, I₀ = 10⁻¹² W m⁻²

সম্মিলিত তীব্রতা, I = ?

আমরা জানি, L = 10 log II₀

বা, I = I₀ × 10^L/10

ভ্যাকুয়াম ক্লিনারের তীব্রতা:

I₁ = 10⁻¹² × 10^8.5

∴ I₁ = 3.162 × 10⁻⁴ W m⁻²

টেলিভিশনের তীব্রতা:

I₂ = 10⁻¹² × 10^7.8

∴ I₂ = 6.31 × 10⁻⁵ W m⁻²

সম্মিলিত তীব্রতা:

I = I₁ + I₂

বা, I = 3.162 × 10⁻⁴ + 0.631 × 10⁻⁴

∴ I = 3.79 × 10⁻⁴ W m⁻²

উত্তর: 3.79 × 10⁻⁴ W m⁻² (তীব্রতা লেভেল প্রায় 85.8 dB)

দেওয়া আছে,

চোঙ্গের দৈর্ঘ্য, s = 1005 m

সময়ের ব্যবধান, Δt = 2.8 s

বায়ুতে শব্দের বেগ, v_a = 335 m s⁻¹

লোহায় শব্দের বেগ, v_i = ?

বায়ুতে শব্দ পৌঁছাতে সময়, t_a = sv_a

= 1005335

= 3 s

লোহায় শব্দ আগে পৌঁছায়, তাই

t_a − t_i = Δt

বা, t_i = 3 − 2.8 = 0.2 s

আমরা জানি,

v_i = st_i

= 10050.2

∴ v_i = 5025 m s⁻¹

উত্তর: 5025 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ₁ = 1 m

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ₂ = 1.01 m

প্রতি সেকেন্ডে বীট সংখ্যা = 3

শব্দের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

কম্পাঙ্ক, n = vλ এবং বীট সংখ্যা = n₁ − n₂

বা, vλ₁ − vλ₂ = 3

বা, v (11 − 11.01) = 3

বা, v × 0.011.01 = 3

বা, v = 3 × 1.010.01

∴ v = 303 m s⁻¹

উত্তর: 303 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

অর্গান নলের কম্পাঙ্ক, f₁ = 256 Hz

স্বরকম্প সংখ্যা = 8 প্রতি সেকেন্ডে

শব্দের বেগ, v = 286 m s⁻¹

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, Δl = ?

সুর শলাকার কম্পাঙ্ক কম, তাই f₂ = 256 − 8 = 248 Hz

নলকে সুর শলাকার সাথে একতালে বাজাতে এর কম্পাঙ্ক 248 Hz করতে হবে, অর্থাৎ নল লম্বা করতে হবে।

আমরা জানি, খোলা নলের জন্য, f = v/2l

প্রথমে নলের দৈর্ঘ্য, l₁ = v/(2f₁) = 286/(2 × 256) = 0.5586 m

পরে নলের দৈর্ঘ্য, l₂ = v/(2f₂) = 286/(2 × 248) = 0.5766 m

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, Δl = l₂ − l₁

বা, Δl = 0.5766 − 0.5586

∴ Δl = 0.0180 m = 1.80 cm

উত্তর: 1.80 cm

দেওয়া আছে,

শব্দের বেগ, v = 320 m s⁻¹

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 200 Hz (উৎস স্থির)

শ্রোতার বেগ, v₀ = 12.8 m s⁻¹

শ্রুত কম্পাঙ্ক, f′ = ?

আমরা জানি,

f′ = f(v ± v₀)/v

(ক) উৎসের দিকে অগ্রসরমান অবস্থায়:

f′ = f(v + v₀)/v

বা, f′ = 200 × (320 + 12.8)/320

বা, f′ = 200 × 332.8/320

∴ f′ = 208 Hz

(খ) উৎস থেকে দূরে যাওয়ার সময়:

f′ = f(v − v₀)/v

বা, f′ = 200 × (320 − 12.8)/320

বা, f′ = 200 × 307.2/320

∴ f′ = 192 Hz

উত্তর: (ক) 208 Hz; (খ) 192 Hz

দেওয়া আছে,

শব্দের বেগ, v = 320 m s⁻¹

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 200 Hz

শ্রোতার বেগ, v₀ = 12.8 m s⁻¹

উৎস স্থির।

উৎসের দিকে এগোলে:

f₁ = f(v + v₀)/v

বা, f₁ = 200 × (320 + 12.8)/320

= 200 × 332.8/320

∴ f₁ = 208 Hz

উৎস থেকে দূরে গেলে:

f₂ = f(v − v₀)/v

বা, f₂ = 200 × (320 − 12.8)/320

= 200 × 307.2/320

∴ f₂ = 192 Hz

উত্তর: এগোলে 208 Hz; দূরে গেলে 192 Hz

দেওয়া আছে,

কম্পাঙ্ক, f = 300 Hz

তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য, λ_w − λ_a = 4.16 m

বায়ুতে শব্দের বেগ, v_a = 352 m s⁻¹

পানিতে শব্দের বেগ, v_w = ?

আমরা জানি, v = fλ

বায়ুতে, λ_a = v_a/f = 352/300

= 1.1733 m

পানিতে, λ_w = λ_a + 4.16

= 1.1733 + 4.16 = 5.3333 m

∴ v_w = fλ_w = 300 × 5.3333

= 1600 m s⁻¹

উত্তর: 1600 m s⁻¹

তীব্রতার গাণিতিক সংজ্ঞা:

তরঙ্গ সঞ্চালনের দিকের লম্ব বরাবর একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে যে শক্তি প্রবাহিত হয় তাকে তীব্রতা বলে।

বা, তীব্রতা, I = EA t = PA

এখানে E = শক্তি, A = ক্ষেত্রফল, t = সময়, P = ক্ষমতা। একক W m⁻²।

তীব্রতা লেভেলের পরিবর্তন নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

নতুন তীব্রতা, I′ = 3I

তীব্রতা লেভেলের পরিবর্তন, Δβ = ?

আমরা জানি,

তীব্রতা লেভেল, β = 10 log II₀ dB

তাই, Δβ = 10 log I′I₀ − 10 log II₀

বা, Δβ = 10 log I′I

বা, Δβ = 10 log 3

বা, Δβ = 10 × 0.4771

∴ Δβ = 4.77 dB

উত্তর: তীব্রতা I = E/(At); লেভেল বাড়বে 4.77 dB

দেওয়া আছে,

A-এর বেগ, v_A = 108 km h⁻¹ = 30 m s⁻¹

B-এর বেগ, v_B = 144 km h⁻¹ = 40 m s⁻¹

শব্দের বেগ, v = 350 m s⁻¹

B-এর পর্যবেক্ষকের শোনা কম্পাঙ্ক, f₁ = 1170 Hz

A-এর পর্যবেক্ষকের শোনা কম্পাঙ্ক, f₂ = ?

উৎস ও শ্রোতা পরস্পরের দিকে আসছে। আমরা জানি,

f′ = f × v + v_{শ্রোতা}v − v_উৎস

ধাপ 1: A-এর নিজস্ব কম্পাঙ্ক f নির্ণয়

f₁ = f × v + v_Bv − v_A

বা, 1170 = f × 350 + 40350 − 30

বা, 1170 = f × 390320

∴ f = 960 Hz

ধাপ 2: A-এর পর্যবেক্ষকের শোনা কম্পাঙ্ক

দুই উড়োজাহাজের শব্দ উৎস একই কম্পাঙ্কের (f = 960 Hz), এখন উৎস B ও শ্রোতা A।

f₂ = f × v + v_Av − v_B

বা, f₂ = 960 × 350 + 30350 − 40

বা, f₂ = 960 × 380310

∴ f₂ = 1176.8 Hz

উত্তর: ≈ 1177 Hz

লক্ষ করো: প্রশ্নে B-এর শব্দ উৎসের কম্পাঙ্ক দেওয়া নেই; উভয় উড়োজাহাজের উৎস একই কম্পাঙ্কের ধরা হলো।

দেওয়া আছে,

প্রারম্ভিক কম্পাঙ্ক, f (উভয় তারের)

একটি তারের টান বৃদ্ধি = 2.01%, অর্থাৎ T′ = 1.0201T

প্রতি সেকেন্ডে স্বরকম্প সংখ্যা = 3

f = ?

আমরা জানি,

f = (1/2l)T/μ অর্থাৎ f ∝ T

বা, f′/f = T′/T = 1.0201 = 1.01

বা, f′ = 1.01f

স্বরকম্প সংখ্যা = f′ − f

বা, 3 = 1.01f − f

বা, 3 = 0.01f

∴ f = 300 Hz

উত্তর: 300 Hz

দেওয়া আছে,

y = 100 sin π(x100 − t0.25)

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য λ = ? পর্যায়কাল T = ? কম্পাঙ্ক f = ? বেগ v = ?

আদর্শ সমীকরণ, y = A sin 2π(xλ − tT)

প্রদত্ত সমীকরণকে লিখি,

y = 100 sin 2π(x200 − t0.5)

তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 100 m

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ = 200 m

পর্যায়কাল, T = 0.5 s

কম্পাঙ্ক, f = 1T = 10.5 = 2 Hz

বেগ, v = f λ = 2 × 200 = 400 m s⁻¹

উত্তর: λ = 200 m; T = 0.5 s; f = 2 Hz; v = 400 m s⁻¹ (তরঙ্গ +x দিকে অগ্রগামী)

দেওয়া আছে,

ইস্পাতের ইয়ং গুণাঙ্ক, Y = 2.1 × 10¹¹ N m⁻²

পানির আয়তন গুণাঙ্ক, K = 2.1 × 10⁹ N m⁻²

ইস্পাতের ঘনত্ব, ρ_s = 7.8 × 10³ kg m⁻³

পানির ঘনত্ব, ρ_w = 10³ kg m⁻³

v_s : v_w = ?

কঠিন বস্তুতে শব্দের বেগ, v_s = Y/ρ_s

বা, v_s = 2.1 × 10¹¹ / 7.8 × 10³

বা, v_s = 2.69 × 10⁷

∴ v_s = 5189 m s⁻¹

তরলে শব্দের বেগ, v_w = K/ρ_w

বা, v_w = 2.1 × 10⁹ / 10³

বা, v_w = 2.1 × 10⁶

∴ v_w = 1449 m s⁻¹

অনুপাত, v_sv_w = 51891449 = 3.58

উত্তর: ইস্পাতে শব্দের বেগ 5189 m s⁻¹, পানিতে 1449 m s⁻¹; ইস্পাতে বেগ পানির প্রায় 3.58 গুণ

ধরি,

শব্দের বেগ = v

উৎসের বেগ = v_s (স্থির শ্রোতার দিকে)

উৎসের প্রকৃত কম্পাংক = f

শ্রোতার শোনা আপাত কম্পাংক = f′

উৎস শ্রোতার দিকে এগোলে ডপলার সূত্র অনুযায়ী,

f′ = f × v/(v − v_s)

এখানে v_s = v হলে হর v − v_s = v − v = 0

অতএব f′ = f × v/0 = ∞

কারণ উৎস যে মুহূর্তে একটি তরঙ্গমুখ ছাড়ে, নিজেও সেই তরঙ্গমুখের সাথে সমান অবস্থানে পৌঁছে যায়; ফলে সব তরঙ্গমুখ একই স্থানে স্তূপীকৃত হয়, তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ′ = (v − v_s)/f = 0 হয়।

তরঙ্গদৈর্ঘ্য শূন্য হলে শ্রুত কম্পাংক f′ = v/λ′ = ∞

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

প্রথম মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ₁ = 5 cm = 0.05 m

প্রথম মাধ্যমে বেগ, v₁ = 350 m s⁻¹

দ্বিতীয় মাধ্যমে বেগ, v₂ = 332.5 m s⁻¹

100 কম্পনে শব্দের অতিক্রান্ত দূরত্ব, d = ?

আমরা জানি, v = fλ

সুরশলাকার কম্পাঙ্ক:

f = v₁/λ₁ = 350/0.05

= 7000 Hz

কম্পাঙ্ক মাধ্যমের ওপর নির্ভর করে না।

দ্বিতীয় মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য:

λ₂ = v₂/f = 332.5/7000

= 0.0475 m

এক কম্পনে শব্দ এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য পথ যায়।

100 কম্পনে দূরত্ব, d = 100 × λ₂

= 100 × 0.0475

= 4.75 m

উত্তর: 4.75 m

দেওয়া আছে,

শব্দের বেগ, v = 341 m s⁻¹

কম্পাঙ্কের অনুপাত (আসার সময় : যাওয়ার সময়), f₁ : f₂ = 6 : 5

ইঞ্জিনের বেগ, v_s = ?

আমরা জানি,

ইঞ্জিন কাছে আসার সময়, f₁ = vv − v_s f

দূরে যাওয়ার সময়, f₂ = vv + v_s f

∴ f₁f₂ = v + v_sv − v_s = 65

বা, 5v + 5v_s = 6v − 6v_s

বা, 11v_s = v

বা, v_s = 34111

= 31 m s⁻¹

উত্তর: ইঞ্জিনের বেগ 31 m s⁻¹ (≈ 111.6 km h⁻¹)

দেওয়া আছে,

উৎসের বেগ, v_s = 30 m s⁻¹

শ্রোতার বেগ, v_o = 30 m s⁻¹

প্রকৃত কম্পাঙ্ক, f = 800 Hz

বায়ুতে শব্দের বেগ, v = 340 m s⁻¹ (ধরা হলো)

আপাত কম্পাঙ্ক, f′ = ?

অতিক্রম করার আগে ট্রেন দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাই উৎস ও শ্রোতা কাছাকাছি আসছে।

আমরা জানি,

f′ = f × v + v_ov − v_s

= 800 × 340 + 30340 − 30

= 800 × 370310

∴ f′ = 955 Hz

উত্তর: প্রায় 955 Hz

লক্ষ করো: প্রশ্নে শব্দের বেগ দেওয়া নেই; 340 m s⁻¹ ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

তীব্রতা লেভেল, L₁ = 92 dB, L₂ = 86 dB

প্রমাণ তীব্রতা, I₀ = 10⁻¹² W m⁻²

সম্মিলিত তীব্রতা লেভেল, L = ?

আমরা জানি, L = 10 log II₀

বা, II₀ = 10^L/10

∴ I₁I₀ = 10^9.2 = 1.585 × 10⁹

এবং I₂I₀ = 10^8.6 = 3.981 × 10⁸

সম্মিলিত তীব্রতা, I = I₁ + I₂

বা, II₀ = 1.585 × 10⁹ + 0.398 × 10⁹ = 1.983 × 10⁹

L = 10 log (1.983 × 10⁹)

= 10 × 9.297

∴ L = 92.97 dB ≈ 93 dB

উত্তর: প্রায় 93 dB

দেওয়া আছে,

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 1000 Hz

উৎসের বেগ, v_s = 10 m s⁻¹

শব্দের বেগ, v = 330 m s⁻¹

শ্রোতা স্থির; উৎস শ্রোতা থেকে সরে পাহাড়ের দিকে যাচ্ছে।

(ক) সরাসরি আগত শব্দ নির্ণয়:

উৎস শ্রোতা থেকে দূরে সরছে, তাই,

f₁ = f × vv + v_s

বা, f₁ = 1000 × 330340

∴ f₁ = 970.6 Hz

(খ) পাহাড় থেকে প্রতিফলিত শব্দ নির্ণয়:

উৎস পাহাড়ের দিকে এগোচ্ছে, তাই পাহাড় যে কম্পাঙ্ক পায়,

f₂ = f × vv − v_s

বা, f₂ = 1000 × 330320

∴ f₂ = 1031.3 Hz

পাহাড় স্থির, তাই প্রতিফলিত শব্দের কম্পাঙ্কও 1031.3 Hz।

বিট (স্বরকম্প) সংখ্যা = f₂ − f₁

= 1031.3 − 970.6 = 60.7 ≈ 61 s⁻¹

উত্তর: (ক) সরাসরি শব্দ 970.6 Hz; (খ) প্রতিধ্বনি 1031.3 Hz; প্রতি সেকেন্ডে প্রায় 61টি বিট

লক্ষ করো: "আগত শব্দের কত সংখ্যা" বলতে কম্পাঙ্ক বোঝানো হয়েছে ধরা হয়েছে; সরাসরি ও প্রতিফলিত দুটোই দেখানো হলো।

দেওয়া আছে,

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 1000 Hz

ট্রেনের বেগ, v_s = 75 km h⁻¹

= 75 × 1000/3600 = 20.83 m s⁻¹

শব্দের বেগ, v = 300 m s⁻¹

শ্রোতা স্থির।

আমরা জানি,

f′ = f × v/(v − v_s)

বা, f′ = 1000 × 300/(300 − 20.83)

= 1000 × 300/279.17

∴ f′ = 1074.6 Hz

উত্তর: ≈ 1075 Hz

দেওয়া আছে,

ভিত্তি (পটভূমি) তীব্রতা লেভেল, β₁ = 50 dB

অনুমোদিত সর্বোচ্চ লেভেল, β₂ = 60 dB

উৎসের ক্ষমতা, P = 40 W

প্রমাণ তীব্রতা, I₀ = 10⁻¹² W m⁻²

ন্যূনতম দূরত্ব, r = ?

আমরা জানি,

β = 10 logII₀

বা, I = I₀ × 10^β/10

∴ I₁ = 10⁻¹² × 10⁵ = 10⁻⁷ W m⁻²

∴ I₂ = 10⁻¹² × 10⁶ = 10⁻⁶ W m⁻²

তীব্রতাগুলো যোগ হয়, তাই নতুন উৎস থেকে সর্বোচ্চ অনুমোদিত তীব্রতা,

I = I₂ − I₁

= 10⁻⁶ − 10⁻⁷

= 9 × 10⁻⁷ W m⁻²

বিন্দু উৎসের শব্দ চারদিকে সমভাবে ছড়ালে,

I = P4πr²

বা, r = P4πI

= 404π × 9 × 10⁻⁷

= 3.537 × 10⁶

∴ r = 1881 m

উত্তর: ন্যূনতম প্রায় 1881 m (≈ 1.88 km) দূরে

লক্ষ করো: পটভূমির 50 dB শব্দ আগে থেকেই আছে, তাই নতুন উৎসের তীব্রতা যোগ হয়ে মোট লেভেল 60 dB ছাড়াতে পারবে না। পটভূমি উপেক্ষা করে শুধু উৎসের লেভেল 60 dB ধরলে r ≈ 1784 m আসে।

দেওয়া আছে,

y = 0.10 sin(100πt − πx7.5)

আদর্শ সমীকরণ y = a sin(ωt − kx)-এর সাথে তুলনা করে,

বিস্তার, a = 0.10 m

ω = 100π rad s⁻¹

k = π7.5 m⁻¹

ঘনত্ব, ρ = 10⁻³ kg m⁻³

তীব্রতা, I = ?

আমরা জানি,

f = ω2π = 100π2π = 50 Hz

λ = 2πk = 2 × 7.5 = 15 m

v = fλ = 50 × 15 = 750 m s⁻¹

তরঙ্গের শক্তি ঘনত্ব = 12ρω²a²; একক ক্ষেত্রফল দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে v দৈর্ঘ্যের তরঙ্গের শক্তি যায়। তাই

I = 12ρω²a²v = 2π²f²a²ρv

এখানে, ρv = 10⁻³ × 750 = 0.75

বা, I = 2π² × 50² × (0.10)² × 0.75

= 19.74 × 2500 × 0.01 × 0.75

∴ I = 370.1 W m⁻²

উত্তর: 370.1 W m⁻² (অর্থাৎ 370.1 J m⁻² s⁻¹)

দেওয়া আছে,

y = 5 sin(πx3) cos 40πt

এটি একটি স্থির তরঙ্গ, যা বিপরীতমুখী দুটি সমান তরঙ্গ

y₁ = a sin(ωt − kx) ও y₂ = a sin(ωt + kx) এর যোগফল,

অর্থাৎ y = 2a sin kx cos ωt

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে,

2a = 5

বা, a = 2.5 cm

k = 2πλ = π3

বা, λ = 6 cm

ω = 2πf = 40π

বা, f = 20 Hz

তরঙ্গের বেগ, v = fλ

= 20 × 6

∴ v = 120 cm s⁻¹

উত্তর: বিস্তার 2.5 cm; বেগ 120 cm s⁻¹ (= 1.2 m s⁻¹)

(ক) বিস্তার ও বেগ নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

স্থির তরঙ্গের সমীকরণ, y = 5 sin πx3 cos 40πt

আমরা জানি, স্থির তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ,

y = 2a sin kx cos ωt

তুলনা করে পাই,

2a = 5 cm

বা, a = 2.5 cm

k = π/3 cm⁻¹, ω = 40π rad s⁻¹

তরঙ্গের বেগ, v = ωk

= 40ππ/3

= 120 cm s⁻¹

(খ) নিস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়:

k = 2π/λ = π/3

বা, λ = 6 cm

পর পর দুটি নিস্পন্দ বিন্দুর দূরত্ব = λ/2

= 6/2 = 3 cm

উত্তর: (ক) বিস্তার 2.5 cm, বেগ 120 cm s⁻¹; (খ) 3 cm

লক্ষ করো: প্রশ্নে সমীকরণটি ছাপায় “π x/t” লেখা; এটি ছাপার ভুল ধরে π x/3 নেওয়া হয়েছে (PDF-এর সমাধানের সাথে সংগতি রেখে)।

দেওয়া আছে,

তারের ভর, m = 50 g = 0.05 kg

তারের দৈর্ঘ্য, l = 2 m

টান, T = 5 × 9.8 = 49 N

একক দৈর্ঘ্যের ভর, μ = 0.052 = 0.025 kg m⁻¹

মূল সুরের কম্পাংক, f = ?

আমরা জানি,

f = 12lTμ

বা, f = 12 × 2490.025

বা, f = 0.25 × 1960

বা, f = 0.25 × 44.27

∴ f = 11.07 Hz

উত্তর: 11.07 Hz

দেওয়া আছে,

প্রথম তরঙ্গের বিস্তার, A₁ = 4 একক

দ্বিতীয় তরঙ্গের বিস্তার, A₂ = 5 একক

দশা পার্থক্য, δ = π/3 = 60°

লব্ধি বিস্তার, A = ?

আমরা জানি,

A = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos δ

বা, A = 4² + 5² + 2 × 4 × 5 × cos 60°

বা, A = 16 + 25 + 20

বা, A = 61

∴ A = 7.81 একক

উত্তর: 7.81 একক

দেওয়া আছে,

তরঙ্গ দুটির প্রত্যেকের বিস্তার, A₁ = A₂ = y_m

দশা পার্থক্য, φ = π/2 rad

লব্ধি বিস্তার, A_R = ?

আমরা জানি,

A_R = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos φ

বা, A_R = y_m² + y_m² + 2y_m² cos(π/2)

বা, A_R = 2y_m² + 0

∴ A_R = 2 y_m ≈ 1.414 y_m

উত্তর: 2 y_m

দেওয়া আছে,

স্থির তরঙ্গের সমীকরণ, y = 5 cos(πx/3) sin 40πt

তরঙ্গদ্বয়ের বিস্তার, a = ?

তরঙ্গদ্বয়ের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

দুটি বিপরীতমুখী তরঙ্গের উপরিপাতনে,

y = 2a cos kx sin ωt

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

2a = 5

বা, a = 2.5 cm

k = π/3 cm⁻¹

ω = 40π s⁻¹

তরঙ্গের বেগ, v = ω/k

বা, v = 40ππ/3

বা, v = 40 × 3

∴ v = 120 cm s⁻¹

উত্তর: প্রতিটি তরঙ্গের বিস্তার 2.5 cm; বেগ 120 cm s⁻¹

লক্ষ করো: প্রশ্নে cos(π/3) ছাপা; সমাধানের সাথে মিলিয়ে cos(πx/3) ধরা হয়েছে (x ছাড়া তরঙ্গ হয় না)।