একটি দালানের ছাদের সাথে লাগানো 5m লম্বা একটি মই অনুভূমিকের সাথে 30° কোণ করে আছে। 60 kg ভরের এক ব্যক্তি 25 kg ভরের ওজনসহ 10 sec এ ছাদে উঠলে তার অশ্বক্ষমতা বের কর।
একটি জলবিদ্যুৎ পাওয়ার স্টেশন লেকের পানি ব্যবহার করে। টার্বাইন থেকে পানি স্তরের উচ্চতা 50 m। দক্ষতা 50% ধরে 1 MW ক্ষমতা পাওয়ার জন্য প্রতি সেকেন্ডে টার্বাইন দিয়ে প্রবাহিত পানির ভর নির্ণয় কর।
সর্বোচ্চ 1800 kg ভর বহনে সক্ষম একটি লিফট 2 m/sec সমবেগে উপরের দিকে উঠছে। গতির বিরুদ্ধে ক্রিয়ারত ঘর্ষণ বলের মান 4000 N, লিফট এর জন্য সর্বনিম্ন কত HP বিশিষ্ট মটরের প্রয়োজন হবে?
দেওয়া আছে,
সর্বোচ্চ ভর, m = 1800 kg
সমবেগ, v = 2 m s−1
ঘর্ষণ বল, f = 4000 N
g = 9.8 m s−2, 1 HP = 746 W
ক্ষমতা, P = ?
সমবেগে ওঠার সময় মোটরের বল,
F = mg + f
= 1800 × 9.8 + 4000
= 17640 + 4000 = 21640 N
আমরা জানি,
P = Fv
= 21640 × 2
= 43280 W
বা, P = 43280746 HP
∴ P = 58.0 HP
উত্তর: 58.0 HP
লক্ষ করো: প্রশ্নে ঘর্ষণ বল "400ON" ছাপা ছিল; এটি 4000 N ধরা হয়েছে।
1 m কার্যকরী দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি সরল দোলকের ববের ভর 300 g, দোলকটিকে সাম্যাবস্থা থেকে 60° কোণে নিয়ে গিয়ে ছেড়ে দেওয়া হলো। ববটির গতিশক্তি বের কর যখন এটি সাম্যাবস্থা দিয়ে অতিক্রম করে এবং যখন সূতা সাম্যাবস্থার সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। [g = 10 m s−2]
দেওয়া আছে,
দোলকের দৈর্ঘ্য, L = 1 m
ববের ভর, m = 300 g = 0.3 kg
আদি কোণ, θ0 = 60°
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 10 m s−2
আমরা জানি, শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী ববের গতিশক্তি = ববের অবনমনজনিত স্থিতিশক্তির হ্রাস
একটি দালানের ছাদের সাথে লাগানো 5 m লম্বা একটি মই আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে আছে। 60 kg ভরের এক ব্যক্তি 20 kg ভরের ইট সহ 10 sec-এ ছাদে উঠল, তার অশ্বক্ষমতা কত?
দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য, l = 5 m
আনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 30°
মোট ভর, m = 60 + 20 = 80 kg
সময়, t = 10 s
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
1 অশ্বক্ষমতা (hp) = 746 W
মই বেয়ে ওঠায় উচ্চতা বৃদ্ধি,
h = l sinθ = 5 × sin30°
= 5 × 0.5 = 2.5 m
আমরা জানি, কাজ, W = mgh
বা, W = 80 × 9.8 × 2.5 = 1960 J
ক্ষমতা, P = Wt = 196010 = 196 W
বা, P = 196746 hp
∴ P = 0.263 hp
উত্তর: 196 W বা 0.263 hp (অশ্বক্ষমতা)
লক্ষ করো: মইয়ের দৈর্ঘ্য বরাবর 5 m ধরে উচ্চতা 5 sin30° নেওয়া হয়েছে এবং ব্যক্তির শুধু স্থিতিশক্তি বৃদ্ধির জন্য কাজ ধরা হয়েছে।
2 kg ভরের একটি বস্তুকে ভূমি থেকে খাড়া ঊর্ধ্বে নিক্ষেপ করা হলো এবং বস্তুটি 8 sec পর পুনরায় ভূমিতে ফিরে এলো। নিক্ষেপের মুহূর্তে এবং নিক্ষেপের 2 sec পরে বস্তুটির বিভব শক্তি এবং গতি শক্তি কত? (g = 9.8 m s−2)
দেওয়া আছে,
ভর, m = 2 kg
মোট উড্ডয়ন কাল, T = 8 s
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
ভূমিকে শূন্য বিভবের স্তর ধরা হলো।
প্রাথমিক বেগ নির্ণয়:
উঠতে ও নামতে সমান সময় লাগে, তাই
সর্বোচ্চ বিন্দুতে পৌঁছাতে সময় = T/2 = 4 s
আমরা জানি, 0 = u − g(T/2)
বা, u = 9.8 × 4 = 39.2 m s−1
(ক) নিক্ষেপের মুহূর্তে:
বিভব শক্তি, U1 = mgh = 0 (h = 0)
গতি শক্তি, K1 = (1/2)mu2
= (1/2) × 2 × (39.2)2 = 1536.64 J
(খ) নিক্ষেপের 2 s পরে:
বেগ, v = u − gt = 39.2 − 9.8 × 2 = 19.6 m s−1
উচ্চতা, h = ut − (1/2)gt2
= 39.2 × 2 − (1/2) × 9.8 × 4 = 58.8 m
বিভব শক্তি, U2 = mgh = 2 × 9.8 × 58.8
= 1152.48 J
গতি শক্তি, K2 = (1/2) × 2 × (19.6)2
= 384.16 J
(যাচাই: U2 + K2 = 1536.64 J = K1)
উত্তর: (ক) নিক্ষেপের মুহূর্তে বিভব শক্তি 0, গতি শক্তি 1536.64 J; (খ) 2 s পরে বিভব শক্তি 1152.48 J, গতি শক্তি 384.16 J
একটি পাম্প মিনিটে 1200 gallon পরিমাণ পানি 6 ft উঁচুতে 32 ft s−1 (9.8 m s−1) গতিবেগে নিক্ষেপ করতে পারে। 1 gallon পানির ভর 10 lb হলে ইঞ্জিনের অশ্ব ক্ষমতা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
প্রতি মিনিটে পানির পরিমাণ = 1200 gallon
উচ্চতা, h = 6 ft
নিক্ষেপ বেগ, v = 32 ft s−1
1 gallon-এর ভর = 10 lb
g = 32 ft s−2; 1 hp = 550 ft lbf s−1
ইঞ্জিনের ক্ষমতা, P = ?
প্রতি সেকেন্ডে পানির ভর, m = 1200 × 1060 = 200 lb
প্রতি সেকেন্ডে বিভব শক্তি বৃদ্ধি:
Ep = mgh = (200 lb × g) × 6 ft
বা, Ep = 200 × 6 = 1200 ft lbf
প্রতি সেকেন্ডে গতিশক্তি বৃদ্ধি:
Ek = (1/2)mv2
বা, Ek = (1/2) × 20032 × 322
বা, Ek = 3200 ft lbf
প্রতি সেকেন্ডে মোট কাজ = 1200 + 3200 = 4400 ft lbf
অর্থাৎ ক্ষমতা = 4400 ft lbf s−1
বা, P = 4400550
∴ P = 8 hp
উত্তর: 8 hp
লক্ষ করো: g = 32 ft s−2 (প্রশ্নের 32 ft s−1 ≈ 9.8 m s−1 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) ধরা হয়েছে; ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা 100% ধরা হয়েছে।
আনুভূমিক কাঠের উপর একটি পেরেক উলম্বভাবে রাখা আছে। 1kg ভরের একটি হাতুড়ি দ্বারা পেরেকটিকে খাড়া নিচের দিকে 4 ms−1 আঘাত করা হলো। পেরেকটি কাঠের মধ্যে 0.015 m ঢুকে গেলে গড় বাধাদানকারী বল নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
হাতুড়ির ভর, m = 1 kg
হাতুড়ির বেগ, v = 4 m s−1
পেরেকের প্রবেশ দূরত্ব, s = 0.015 m
গড় বাধাদানকারী বল, F = ?
আঘাতের মুহূর্তে হাতুড়ির গতিশক্তি = (1/2)mv2
বা, K = (1/2) × 1 × (4)2 = 8 J
এই শক্তি কাঠের বাধার বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।
কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে, F × s = K
বা, F = K/s = 8/0.015
∴ F = 533 N
উত্তর: 533 N
লক্ষ করো: পেরেকের ভর ও হাতুড়ি-পেরেকের সংঘর্ষে শক্তিক্ষয় বিবেচনা না করে হাতুড়ির পুরো গতিশক্তি কাঠের বাধায় ব্যয় হয়েছে ধরা হয়েছে।
একটি পাম্প প্রতি মিনিটে 1200 গ্যালন পরিমাণ পানি 6ft উঁচুতে তুলে 32 ft/ sec গতিবেগে নিক্ষেপ করতে পারে। 1 গ্যালন পানির ভর 10 lb হলে ইঞ্জিনের অশ্বক্ষমতা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
প্রতি মিনিটে পানির ভর = 1200 × 10 = 12000 lb
অর্থাৎ প্রতি সেকেন্ডে ভর, m = 12000/60 = 200 lb
উচ্চতা, h = 6 ft; নিক্ষেপ বেগ, v = 32 ft s−1
g = 32 ft s−2 (FPS পদ্ধতিতে)
অশ্বক্ষমতা, P = ?
প্রতি সেকেন্ডে কাজ = বিভবশক্তি + গতিশক্তি
বা, W = mgh + (1/2)mv2 (m ভর ও g বল-একক পাউন্ডাল থেকে)
একটি বন্দুকের স্প্রিং-কে 4 cm সংকুচিত করে 10 gm ভরের একটি গুলি ছোঁড়া হলো। গুলির বেগ নির্ণয় কর যখন স্প্রিংটি পূর্বাবস্থায় ফিরে আসে। স্প্রিং ধ্রুবক 200 N/m
দেওয়া আছে,
সংকোচন, x = 4 cm = 0.04 m
গুলির ভর, m = 10 g = 0.01 kg
স্প্রিং ধ্রুবক, k = 200 N m−1
গুলির বেগ, v = ?
স্প্রিংয়ের সঞ্চিত বিভব শক্তি গুলির গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়।
70 kg ভরের এক ব্যক্তি 20 kg ভরের এক বোঝা নিয়ে 6 m দীর্ঘ একটি সিঁড়ি বেয়ে উপরে উঠলো। সিঁড়িটি আনুভূমিক তলের সাথে 30° কোণ করে থাকলে ঐ ব্যক্তি কত কাজ করলো নির্ণয় কর।
একটি পানিপূর্ণ পুকুরের গভীরতা 10 m দৈর্ঘ্য 10 m এবং প্রস্থ 5 m। 30 মিনিটে পুকুরটিকে পানি শূন্য করতে কত অশ্বক্ষমতার পাম্প ব্যবহার করতে হবে? (g = 980 cm s−2)
দেওয়া আছে,
পুকুরের গভীরতা, h = 10 m
দৈর্ঘ্য = 10 m, প্রস্থ = 5 m
সময়, t = 30 min = 1800 s
g = 980 cm s−2 = 9.8 m s−2
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3
1 hp = 746 W
ক্ষমতা, P = ? (hp)
পানির আয়তন, V = 10 × 10 × 5 = 500 m3
পানির ভর, m = ρV = 1000 × 500 = 5 × 105 kg
পানির ভরকেন্দ্র তলদেশ থেকে (h/2) = 5 m উপরে, তাই ভূপৃষ্ঠে তুলতে গড় উত্তোলন-উচ্চতা, h′ = 5 m
আমরা জানি,
কাজ, W = mgh′
বা, W = 5 × 105 × 9.8 × 5
বা, W = 2.45 × 107 J
ক্ষমতা, P = Wt
বা, P = 2.45 × 1071800
বা, P = 13611 W
বা, P = 13611746 hp
∴ P = 18.2 hp
উত্তর: 18.2 hp
লক্ষ করো: পুকুর ভূপৃষ্ঠ পর্যন্ত পানিতে পূর্ণ, পাম্প ভূপৃষ্ঠে বসানো এবং পানি ভূপৃষ্ঠ পর্যন্ত তোলা হবে ধরে নেওয়া হয়েছে; পাম্পের দক্ষতা 100% ধরা হয়েছে। প্রশ্নে g-এর একক cm s−2 হওয়া উচিত।
একটি পানিপূর্ণ কূয়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং প্রস্থ 6 মিটার এবং গভীরতা 10 মিটার। 80% কর্মদক্ষতা বিশিষ্ট একটি পাম্প 30 মিনিট কূয়াটিকে পানি শূন্য করতে পারে। পাম্পটির অশ্ব ক্ষমতা নির্ণয় কর?
দেওয়া আছে,
কূপের আয়তন, V = 10 × 6 × 10 = 600 m3
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3
পানির ভর, m = 600 × 1000 = 6 × 105 kg
পানির গড় উত্তোলন-উচ্চতা, h = 10/2 = 5 m
সময়, t = 30 min = 1800 s
দক্ষতা, η = 80% = 0.8
g = 9.8 m s−2, 1 hp = 746 W
পাম্পের অশ্বক্ষমতা = ?
আমরা জানি,
কার্যকর কাজ, W = mgh
= 6 × 105 × 9.8 × 5
= 2.94 × 107 J
কার্যকর ক্ষমতা = W/t = 2.94 × 1071800
= 16333 W
দক্ষতা = কার্যকর ক্ষমতামোট ক্ষমতা
বা, মোট ক্ষমতা = 163330.8 = 20417 W
= 20417746 hp
∴ ক্ষমতা ≈ 27.4 hp
উত্তর: প্রায় 27.4 hp (≈ 2.04 × 104 W)
লক্ষ করো: পানি কূপের মুখ পর্যন্ত তোলা হয় ধরে নিয়ে পানির ভরকেন্দ্রের উত্তোলন-উচ্চতা গভীরতার অর্ধেক (5 m) নেওয়া হয়েছে।
একটি দালানের ছাদের সাথে লাগানো 5 m লম্বা একটি মই অনুভূমিকের সাথে 30° কোণ করে আছে। 60 kg ভরের এক ব্যাক্তি 20 kg ভরের বোঝা নিয়ে 10sec এ ছাদে উঠেন। তার অশ্বক্ষমতা কত?
একটি মার্বেল পাথর খণ্ডের উচ্চতা 4 ফুট এবং ভর 500 পাউন্ড। 22500 ফুট পাউন্ড কাজ করতে কতটি মার্বেল পাথর খণ্ড একটির উপর একটি রেখে মোট কত ফুট উঁচু একটি স্তম্ভে সাজাতে পারবে?
দেওয়া আছে,
প্রতিটি খণ্ডের উচ্চতা, h = 4 ft
প্রতিটি খণ্ডের ওজন, w = 500 lb
মোট কাজ, W = 22500 ft lb
খণ্ড সংখ্যা n = ?
মাটিতে থাকা খণ্ডগুলো একটি একটি করে তুলে সাজালে,
প্রথম খণ্ড মাটিতেই থাকে, কাজ = 0
দ্বিতীয় খণ্ড 4 ft তুলতে কাজ = w × h
তৃতীয় খণ্ড 8 ft তুলতে কাজ = w × 2h
n-তম খণ্ড (n − 1)h তুলতে কাজ = w(n − 1)h
মোট কাজ, Wn = wh[1 + 2 + … + (n − 1)]
= wh × n(n − 1)2
= 500 × 4 × n(n − 1)2
= 1000 n(n − 1) ft lb
n = 5 হলে, W = 1000 × 5 × 4 = 20000 ft lb ≤ 22500
n = 6 হলে, W = 1000 × 6 × 5 = 30000 ft lb > 22500
∴ n = 5 টি খণ্ড; স্তম্ভের উচ্চতা = 5 × 4 = 20 ft
উত্তর: 5 টি খণ্ড; স্তম্ভের উচ্চতা 20 ft
লক্ষ করো: 22500 ft lb পূর্ণ সংখ্যক খণ্ডের সাথে হুবহু মেলে না; পূর্ণসংখ্যক সর্বোচ্চ n = 5 ধরা হয়েছে (বাকি 2500 ft lb দিয়ে ষষ্ঠ খণ্ড তোলা যায় না)।
একটি বন্দুকের গুলি 100 km h−1 বেগে উপরের দিকে ছোড়ায় 15 cm পুরু ছাদ ভেদ করার পর অর্ধেক বেগ হারায়। গুলিটি পুনরায় উপর হতে নিচে এসে ছাদটিকে আঘাত করার পর আর কতদূর ছাদটি ভেদ করবে?
দেওয়া আছে,
আদি বেগ, v1 = 100 km h−1
ছাদ ভেদের পর বেগ, v2 = 100 × 12 = 50 km h−1
ছাদের পুরুত্ব, s1 = 15 cm
পুনরায় ভেদের দূরত্ব, s2 = ?
ছাদ থেকে বেরিয়ে গুলি উপরে উঠে আবার একই বেগে (50 km h−1) ছাদে ফিরে আসে (বায়ুর বাধা উপেক্ষা)।
ছাদের রোধ বল F ধ্রুব ধরলে কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে,
প্রথম বার: F s1 = 12m(v12 − v22) = 12m(1002 − 502)
দ্বিতীয় বার: F s2 = 12m(502 − 0)
বা, s2s1 = 5021002 − 502
= 25007500
= 13
বা, s2 = 153
∴ s2 = 5 cm
উত্তর: 5 cm
লক্ষ করো: "অর্ধেক বেগ হারায়" অর্থ ভেদের পর বেগ আদি বেগের অর্ধেক (50 km h−1) ধরা হয়েছে।
একটি পানি পূর্ণ কুয়ার দৈর্ঘ্য 3 m, প্রস্থ 2 m ও গভীরতা 20 m। 70% কর্মদক্ষতা বিশিষ্ট একটি পাম্প 20 মিনিটে কুয়াটাকে পানি শূন্য করতে পারে। পাম্পটির অশ্ব ক্ষমতা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
কুয়ার আয়তন, V = 3 × 2 × 20 = 120 m3
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3
কর্মদক্ষতা, η = 70% = 0.7
সময়, t = 20 min = 1200 s
g = 9.8 m s−2, 1 hp = 746 W
অশ্বক্ষমতা = ?
পানির ভর, m = ρ V = 1.2 × 105 kg
পানির ভরকেন্দ্র ভূমিতল থেকে 10 m নিচে, তাই গড় উত্তোলন উচ্চতা h = 10 m
পানি তোলার কাজ, W = m g h
= 1.2 × 105 × 9.8 × 10
= 1.176 × 107 J
প্রয়োজনীয় আউটপুট ক্ষমতা = Wt
= 1.176 × 1071200 = 9800 W
কর্মদক্ষতা, η = আউটপুটইনপুট
বা, ইনপুট = 98000.7 = 14000 W
∴ অশ্বক্ষমতা = 14000746 = 18.8 hp
উত্তর: 18.8 hp (ইনপুট 14000 W)
লক্ষ করো: পানি ভূমিতলে তোলা হয়েছে ধরা হয়েছে, তাই গড় উচ্চতা 10 m। প্রশ্নের "20 ml" ছাপার ভুল, 20 m ধরা হয়েছে।
মানুষের হার্টের কম্পাঙ্ক 80 বিট প্রতি মিনিট। হার্ট প্রতি বিটে 10 cm Hg চাপে 75 cm3 রক্ত সঞ্চালন করে। পারদের ঘনত্ব 13.6 g cm−3। হার্টের ক্ষমতা নির্ণয় করো।
কোভিড-19 (COVID-19) অতিমারীর সময়ে 4 × 103 kg ভরের একটি পিকআপ ট্রাক এবং 103 kg ভরের একটি মাইক্রোবাস অক্সিজেন সিলিন্ডার সরবরাহের জন্য একটি হাসপাতালে যাচ্ছিলো। পিকআপ ট্রাকের বেগ ছিলো ঘণ্টায় 80 km। একই গতিশক্তি সম্পন্ন হতে হলে মাইক্রোবাসটিকে কত বেগে চলতে হবে?
কোনো কুয়া থেকে 30 m উপরে পানি তোলার জন্য 5 kW এর একটি পাম্প ব্যবহার করা হয়। পাম্পের কর্মদক্ষতা 90% হলে প্রতি মিনিটে কত লিটার পানি তোলা যাবে? [g = 9.8 m s−2]
দেওয়া আছে,
পাম্পের ক্ষমতা (প্রদত্ত), Pin = 5 kW = 5000 W
কর্মদক্ষতা, η = 90% = 0.9
উচ্চতা, h = 30 m
সময়, t = 1 min = 60 s
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3 (1 L পানির ভর 1 kg)
প্রতি মিনিটে তোলা পানির আয়তন, V = ?
আমরা জানি,
কার্যকর ক্ষমতা, Pout = ηPin
বা, Pout = 0.9 × 5000 = 4500 W
আবার, Pout = mght
বা, m = Pout tgh
বা, m = 4500 × 609.8 × 30
বা, m = 270000294
∴ m = 918.37 kg
যেহেতু 1 kg পানির আয়তন 1 L,
∴ V = 918.37 L ≈ 918.4 L
উত্তর: প্রতি মিনিটে প্রায় 918.4 লিটার পানি তোলা যাবে।
1 টি ক্রেন প্রতিটি 50 kg ওজনের 12 টি সিমেন্টের ব্যাগ সমদ্রুতিতে 160 m উঁচু একটি নির্মাণাধীন ভবনের ছাদে ওঠাতে 1 min 10 sec সময় নেয়। ক্রেনটির ক্ষমতা অশ্বশক্তিতে বের কর।
3 kg ভরের বস্তুর উপর একটি বল ক্রিয়াশীল আছে। বস্তুটির অবস্থান সমীকরণ x = 3t − 4t2 + t3, যেখানে x-এর মান মিটারে এবং t-এর মান সেকেন্ডে। t = 0 হতে t = 4 সেকেন্ড সময়ে বলটি দিয়ে বস্তুর উপর কৃত কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
পুত্রের ভর পিতার ভরের অর্ধেক। পিতার গতিশক্তি পুত্রের গতিশক্তির অর্ধেক। পিতার বেগ 1 m s−1 বাড়ালে তার গতিশক্তি পুত্রের গতিশক্তির সমান হয়। উভয়ের বেগ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
ধরি, পুত্রের ভর m, তাহলে পিতার ভর 2m
ধরি, পুত্রের বেগ vs এবং পিতার বেগ vf
পিতার গতিশক্তি = (1/2) × পুত্রের গতিশক্তি
পিতার বেগ 1 m s−1 বাড়ালে গতিশক্তি সমান হয়।
vs = ?, vf = ?
প্রথম শর্ত থেকে,
(1/2)(2m)vf2 = (1/2) × (1/2)mvs2
বা, vs2 = 4vf2
বা, vs = 2vf ...... (i)
দ্বিতীয় শর্ত থেকে,
(1/2)(2m)(vf + 1)2 = (1/2)mvs2
বা, 2(vf + 1)2 = vs2 = 4vf2
বা, (vf + 1)2 = 2vf2
বা, vf + 1 = 2 vf
বা, vf = 12 − 1 = 2 + 1
∴ vf = 2.41 m s−1
(i) থেকে, vs = 2 × 2.41
∴ vs = 4.83 m s−1
উত্তর: পিতার বেগ 2.41 m s−1; পুত্রের বেগ 4.83 m s−1