ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি · লিখিত
দেওয়া আছে,
মোট ভর, m = 70 + 20 = 90 kg
সিঁড়ির দৈর্ঘ্য, l = 6 m
কোণ, θ = 30°
g = 9.8 m s−2
কাজ, W = ?
উচ্চতা বৃদ্ধি, h = l sin θ
= 6 × sin 30° = 3 m
আমরা জানি,
W = mgh
বা, W = 90 × 9.8 × 3
∴ W = 2646 J
উত্তর: 2646 J
দেওয়া আছে,
জাহাজের ভর, m = 46000 টন
= 46000 × 1000 kg = 4.6 × 107 kg
পানির ঘনত্ব, ρ = 1.025 g cm−3
= 1025 kg m−3
নিমজ্জিত অংশ = মোট আয়তনের 1/3
জাহাজের আয়তন নির্ণয়:
ভাসমান অবস্থায় জাহাজের ওজন = প্লবতা
বা, mg = Vনিমজ্জিত ρg
বা, Vনিমজ্জিত = m/ρ
= 4.6 × 107/1025 = 4.488 × 104 m3
মোট আয়তন, V = 3 × Vনিমজ্জিত
∴ V = 1.346 × 105 m3
ডুবে যাওয়ার অংশ নির্ণয়:
প্রতি সেকেন্ডে প্রবেশকৃত পানি
= 3 × 106 cm3 = 3 m3
প্রতি ঘণ্টায় (3600 s) প্রবেশকৃত পানি
= 3 × 3600 = 10800 m3
অংশ = 10800/(1.346 × 105)
= 0.0802 ≈ 1/12.5
উত্তর: জাহাজের আয়তন ≈ 1.35 × 105 m3; প্রতি ঘণ্টায় জাহাজের আয়তনের প্রায় 0.08 অংশ (≈ 8%) ডুবতে থাকবে
লক্ষ করো: "টন" বলতে মেট্রিক টন (1000 kg) ধরা হয়েছে। জাহাজে ঢোকা পানির আয়তনকে জাহাজের মোট আয়তনের সাথে তুলনা করে "অংশ" নির্ণয় করা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানের বেগ, v = 2.4 × 108 m s−1
c = 3 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসাবে সময়, t = 50 বছর
যাত্রার সময় বয়স = 30 বছর
আমরা জানি,
মহাশূন্যযানের হিসাবে সময় (আপেক্ষিকতার সময় প্রসারণ)
t0 = t1 − v2/c2
বা, t0 = 50 × 1 − (2.4/3)2
বা, t0 = 50 × 1 − 0.64
বা, t0 = 50 × 0.6 = 30 বছর
অতএব মহাশূন্যচারীর বয়স বেড়েছে 30 বছর।
∴ ফিরে এসে বয়স = 30 + 30 = 60 বছর
উত্তর: 60 বছর
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, ω0 = 0
শেষ কৌণিক বেগ, ω = 20 rad s−1
কৌণিক সরণ, θ = 10 × 2π = 20π rad
কৌণিক ত্বরণ, α = ?
আমরা জানি,
ω2 = ω02 + 2αθ
বা, 202 = 0 + 2 × α × 20π
বা, α = 400/(40π)
= 10/π
∴ α = 3.18 rad s−2
উত্তর: 3.18 rad s−2
দেওয়া আছে,
বৃষ্টির বেগ (খাড়া নিচে) = 10 km h−1
বাতাসের বেগ (পূর্ব থেকে পশ্চিমে) = 60 km h−1
গাড়ির বেগ (পূর্ব থেকে পশ্চিমে) = v
বাতাসের সাথে বৃষ্টির ফোঁটা পশ্চিমমুখী 60 km h−1
অনুভূমিক বেগ পায় এবং 10 km h−1 নিচমুখী বেগ থাকে।
গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগের
অনুভূমিক উপাংশ = (60 − v) km h−1 পশ্চিম দিকে
উল্লম্ব উপাংশ = 10 km h−1 নিচে
(a) সামনের ও পিছনের কাঁচ ভেজার শর্ত:
গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টি যখন সরাসরি
খাড়া নিচে পড়ে, তখনই তা সামনের ও পিছনের
উভয় ঢালু কাঁচে সমানভাবে পড়ে।
এর জন্য অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হতে হবে:
60 − v = 0
∴ v = 60 km h−1
(b) শুধু পিছনের কাঁচ ভেজার শর্ত:
গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির ফোঁটা পিছন (পূর্ব) দিক
থেকে এসে পিছনের কাঁচে পড়বে।
এর জন্য অনুভূমিক উপাংশ পশ্চিমমুখী হতে হবে:
60 − v > 0
∴ v < 60 km h−1
উত্তর: (a) 60 km h−1; (b) 60 km h−1-এর কম
লক্ষ করো: প্রশ্নে কাঁচের নির্দিষ্ট ঢাল দেওয়া নেই; তাই বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশের দিক দেখে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে।
দেওয়া আছে,
বলের ভর, m = 0.2 kg
আদিবেগ, u = 200 m s−1
শেষবেগ, v = 0
সময়, t = 0.1 s
গড় বল, F = ?
আমরা জানি,
F = m(v − u)/t
বা, F = 0.2 × (0 − 200)/0.1
= −400 N
মান, |F| = 400 N
উত্তর: 400 N (বলের গতির বিপরীত দিকে)
দেওয়া আছে,
বেগ, v = 25.2 km h−1
= 25.2 × 1000/3600 = 7 m s−1
ব্যাসার্ধ, r = 5 m
g = 9.8 m s−2
উলম্বের সাথে হেলার কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
tan θ = v2/(rg)
বা, tan θ = 49/(5 × 9.8)
= 49/49 = 1
বা, θ = tan−1(1)
∴ θ = 45°
অতএব ভূমির সাথে হেলান = 90° − 45° = 45°
উত্তর: উলম্বের সাথে 45° (ভূমির সাথেও 45°)
দেওয়া আছে,
সংকোচন, x = 4 cm = 0.04 m
গুলির ভর, m = 10 g = 0.01 kg
স্প্রিং ধ্রুবক, k = 200 N m−1
গুলির বেগ, v = ?
স্প্রিংয়ের সঞ্চিত বিভব শক্তি গুলির গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়।
(1/2)mv2 = (1/2)kx2
বা, v = xk/m
বা, v = 0.04 × 200/0.01
বা, v = 0.04 × 141.4
∴ v = 5.66 m s−1
উত্তর: 5.66 m s−1
দেওয়া আছে,
সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T = 2 s
পরিবর্তিত দোলনকাল, T′ = 2.041 s
এক ঘণ্টা = 3600 s
আসল এক ঘণ্টায় দোলন সংখ্যা
N = 3600/T′ = 3600/2.041 = 1763.8
ঘড়ি প্রতি দোলনে 2 s দেখায়,
তাই ঘড়ির সময় = 1763.8 × 2 = 3527.7 s
∴ ঘড়ি ধীর যাবে = 3600 − 3527.7
= 72.3 s
উত্তর: প্রায় 72.3 s (≈ 1 min 12 s) ধীরে যাবে
দেওয়া আছে,
উৎসের তাপমাত্রা, T1 = 227 + 273 = 500 K
গ্রাহকের তাপমাত্রা, T2 = 27 + 273 = 300 K
আমরা জানি,
দক্ষতা, η = 1 − T2/T1
বা, η = 1 − 300/500
= 1 − 0.6 = 0.4
∴ η = 40%
উত্তর: 40%
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য, L = 30 m
শীতকালে টান, F0 = 200 kN = 2 × 105 N
তাপমাত্রা পার্থক্য, Δθ = 25°C
ব্যাসার্ধ, r = 1.5 cm = 0.015 m
α = 24 × 10−6 °C−1
Y = 7 × 107 N cm−2
= 7 × 1011 N m−2
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πr2
= π × (0.015)2
= 7.07 × 10−4 m2
অতিরিক্ত বল নির্ণয়:
প্রান্ত দুটি স্থির, তাই গ্রীষ্মে প্রসারণ বাধা পায়।
প্রসারণ বাধা পেলে সৃষ্ট বল,
F′ = YAαΔθ
বা, F′ = 7 × 1011 × 7.07 × 10−4
× 24 × 10−6 × 25
∴ F′ = 2.97 × 105 N = 297 kN
এই বল তারের প্রসারণে বাধার ফলে সৃষ্ট,
তাই এটি সংকোচনমূলক (চাপ) বল।
সর্বসাকুল্যে বল:
টান বল 200 kN, চাপ বল 297 kN
নিট বল = 297 − 200 = 97 kN
এটি সংকোচনমূলক।
উত্তর: অতিরিক্ত বল ≈ 297 kN (সংকোচনমূলক); সর্বসাকুল্যে বল ≈ 97 kN (সংকোচনমূলক)
লক্ষ করো: গ্রীষ্মে প্রাথমিক 200 kN টানের সাথে বিপরীতমুখী সৃষ্ট বল যুক্ত হয় ধরা হয়েছে। বাস্তবে তার চাপ নিতে পারে না, তাই শিথিল হয়ে ঝুলে পড়বে। এখানে প্রশ্নের নিয়ম মেনে শুধু সংখ্যাগত ফল দেওয়া হয়েছে।
দেওয়া আছে,
কম্পাঙ্ক, f = 300 Hz
তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য, λw − λa = 4.16 m
বায়ুতে শব্দের বেগ, va = 352 m s−1
পানিতে শব্দের বেগ, vw = ?
আমরা জানি, v = fλ
বায়ুতে, λa = va/f = 352/300
= 1.1733 m
পানিতে, λw = λa + 4.16
= 1.1733 + 4.16 = 5.3333 m
∴ vw = fλw = 300 × 5.3333
= 1600 m s−1
উত্তর: 1600 m s−1
দেওয়া আছে,
শব্দের বেগ, v = 320 m s−1
উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 200 Hz
শ্রোতার বেগ, v0 = 12.8 m s−1
উৎস স্থির।
উৎসের দিকে এগোলে:
f1 = f(v + v0)/v
বা, f1 = 200 × (320 + 12.8)/320
= 200 × 332.8/320
∴ f1 = 208 Hz
উৎস থেকে দূরে গেলে:
f2 = f(v − v0)/v
বা, f2 = 200 × (320 − 12.8)/320
= 200 × 307.2/320
∴ f2 = 192 Hz
উত্তর: এগোলে 208 Hz; দূরে গেলে 192 Hz
দেওয়া আছে,
আধান, Q = 1000 C
ZH = 1.05 × 10−8 kg C−1
তামার পারমাণবিক ভর = 63.6, যোজ্যতা = 2
তামার রাসায়নিক তুল্যাংক, ECu = 63.6/2 = 31.8
হাইড্রোজেনের রাসায়নিক তুল্যাংক, EH = 1.008
হাইড্রোজেনের ভর:
ফ্যারাডের সূত্রানুসারে, m = ZQ
বা, mH = 1.05 × 10−8 × 1000
∴ mH = 1.05 × 10−5 kg = 10.5 mg
তামার ভর:
ফ্যারাডের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে,
ZCu/ZH = ECu/EH
বা, ZCu = 1.05 × 10−8 × 31.8/1.008
= 3.3125 × 10−7 kg C−1
mCu = ZCuQ = 3.3125 × 10−7 × 1000
∴ mCu = 3.31 × 10−4 kg = 0.331 g
উত্তর: হাইড্রোজেন 1.05 × 10−5 kg (10.5 mg); তামা 3.31 × 10−4 kg (0.331 g)
দেওয়া আছে,
রেডিওর ক্ষমতা = 50 W
দুটি পাখার ক্ষমতা = 2 × 100 = 200 W
বাতি 6টি, প্রতিটির রোধ R = 1000 Ω
সরবরাহ ভোল্টেজ, V = 250 V
প্রতিদিন চলে = 6 h
প্রতি ইউনিটের দাম = 3.00 Tk
একটি বাতির ক্ষমতা,
P = V2/R = (250)2/1000 = 62.5 W
ছয়টি বাতির ক্ষমতা = 6 × 62.5 = 375 W
মোট ক্ষমতা = 50 + 200 + 375 = 625 W = 0.625 kW
প্রতিদিন শক্তি = 0.625 × 6 = 3.75 kWh
30 দিনে শক্তি = 3.75 × 30 = 112.5 kWh
বিল = 112.5 × 3.00 = 337.5 Tk
উত্তর: 337.50 Tk
(ক) ঘটনা দিগন্ত (event horizon):
কৃষ্ণ বিবরের চারপাশের একটি কাল্পনিক গোলীয় সীমানাকে ঘটনা দিগন্ত বলে। এই সীমানার ভেতরে মহাকর্ষ এত প্রবল যে পলায়ন বেগ আলোর বেগের চেয়েও বেশি হয়। ফলে এর ভেতর থেকে আলোসহ কোনো কিছুই বাইরে বেরোতে পারে না এবং বাইরের পর্যবেক্ষক ভেতরের কোনো ঘটনা দেখতে পায় না।
এর ব্যাসার্ধ (শোয়ার্জশিল্ড ব্যাসার্ধ) Rs = 2GM/c2।
(খ) α ও β নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
সংগ্রাহক প্রবাহ, IC = 0.75 mA
নিঃসারক প্রবাহ, IE = 0.766 mA
আমরা জানি,
IE = IB + IC
বা, IB = 0.766 − 0.75 = 0.016 mA
α = IC/IE = 0.75/0.766
∴ α = 0.979
β = IC/IB = 0.75/0.016
∴ β = 46.9
উত্তর: (খ) α = 0.979; β = 46.9
দেওয়া আছে,
প্রথম অবস্থায় (উত্তর মেরু উত্তরে)
নিরপেক্ষ বিন্দুর দূরত্ব, d1 = 10 cm
চুম্বকের ভ্রামক M, ভূচৌম্বক ক্ষেত্রের
অনুভূমিক উপাংশ BH
প্রথম অবস্থা:
উত্তর মেরু উত্তরে থাকলে নিরপেক্ষ বিন্দু
চুম্বকের নিরক্ষীয় রেখায় থাকে।
নিরক্ষীয় অবস্থানে চৌম্বক ক্ষেত্র,
Be = (μ0/4π) × M/d13
নিরপেক্ষ বিন্দুতে Be = BH
বা, (μ0/4π) × M/d13 = BH ...... (i)
চুম্বক 180° ঘোরালে:
এখন উত্তর মেরু দক্ষিণে। নিরপেক্ষ বিন্দু
চুম্বকের অক্ষীয় রেখায় থাকবে।
অক্ষীয় অবস্থানে চৌম্বক ক্ষেত্র,
Ba = (μ0/4π) × 2M/d23
বা, (μ0/4π) × 2M/d23 = BH ...... (ii)
(i) ও (ii) থেকে,
M/d13 = 2M/d23
বা, d23 = 2d13
বা, d2 = 10 × ∛2
= 10 × 1.26
∴ d2 = 12.6 cm
উত্তর: চুম্বকের অক্ষীয় রেখা বরাবর মধ্যবিন্দু থেকে 12.6 cm দূরে
দেওয়া আছে,
পাক সংখ্যা, N = 6
ব্যাস = 4 cm
∴ ব্যাসার্ধ, r = 2 cm = 0.02 m
প্রবাহ, I = 2 A
চৌম্বক ভ্রামক, M = ?
কুণ্ডলীর ক্ষেত্রফল, A = πr2
= π × (0.02)2
= 1.257 × 10−3 m2
আমরা জানি,
M = NIA
বা, M = 6 × 2 × 1.257 × 10−3
∴ M = 1.51 × 10−2 A m2
উত্তর: 1.51 × 10−2 A m2
দেওয়া আছে,
ছাত্রের নিকট বিন্দু = 10 cm
স্বাভাবিক চোখের নিকট বিন্দু = 25 cm
বই লেন্স থেকে 25 cm দূরে রাখা হবে,
তাই বস্তু দূরত্ব, u = 25 cm
প্রতিবিম্ব ছাত্রের নিকট বিন্দুতে অবাস্তব,
তাই v = −10 cm
আমরা জানি,
1/f = 1/u + 1/v
বা, 1/f = 1/25 − 1/10
= (2 − 5)/50 = −3/50 cm−1
∴ f = −16.67 cm = −0.1667 m
ক্ষমতা, P = 1/f = −6 D
উত্তর: −6 D (অবতল লেন্সের চশমা)
দেওয়া আছে,
সমন্বিত লেন্সের ফোকাস দূরত্ব, f = −54 cm
(অবতল)
বিচ্ছুরণ ক্ষমতা, ωc : ωf = 3 : 4
ক্রাউনের ফোকাস দূরত্ব = fc
ফ্লিন্টের ফোকাস দূরত্ব = ff
লেন্সদ্বয় বর্ণবিচ্যুতিমুক্ত হওয়ার শর্ত,
ωc/fc + ωf/ff = 0
বা, 3/fc + 4/ff = 0
বা, ff = −(4/3)fc ...... (i)
সমন্বয়ের সূত্র,
1/f = 1/fc + 1/ff
বা, −1/54 = 1/fc − 3/(4fc)
= 1/(4fc)
বা, fc = −54/4
∴ fc = −13.5 cm
(i) থেকে, ff = −(4/3) × (−13.5)
∴ ff = +18 cm
উত্তর: ক্রাউন লেন্স অবতল, ফোকাস দূরত্ব 13.5 cm (f = −13.5 cm); ফ্লিন্ট লেন্স উত্তল, ফোকাস দূরত্ব 18 cm
লক্ষ করো: বিচ্ছুরণ ক্ষমতার অনুপাত দেওয়া থাকায় লেন্সদ্বয়কে বর্ণবিচ্যুতিমুক্ত (achromatic) যুগ্ম ধরা হয়েছে।
পরীক্ষা ও প্র্যাকটিস
ভর্তি পরীক্ষা
লিখিত ও সমাধান
শেখা ও রেফারেন্স
প্রিমিয়াম