0.25 cm ব্যাসবিশিষ্ট একটি স্টীল ও একটি ব্রাসের তার প্রদত্ত চিত্র অনুযায়ী ভার বহন করছে। উক্ত ভরের জন্য স্টীল ও ব্রাসের তারের সম্প্রসারণ নির্ণয় কর। স্টীল এবং ব্রাসের ইয়ং এর গুণাঙ্ক যথাক্রমে Es = 200 × 109 N/m2 এবং Eb = 120 × 109 N/m2। [চিত্র আছে]
দেওয়া আছে,
তারের ব্যাস, d = 0.25 cm = 2.5 × 10−3 m
ব্যাসার্ধ, r = 1.25 × 10−3 m
Es = 200 × 109 N m−2
Eb = 120 × 109 N m−2
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
A = πr2
= 3.1416 × (1.25 × 10−3)2
∴ A = 4.91 × 10−6 m2
আমরা জানি, ইয়ং এর গুণাঙ্ক, E = F LA ΔL
বা, ΔL = F LA E
স্টীলের তারের জন্য,
ΔLs = FsLs4.91 × 10−6 × 200 × 109
= 1.02 × 10−6 FsLs m
ব্রাসের তারের জন্য,
ΔLb = FbLb4.91 × 10−6 × 120 × 109
= 1.70 × 10−6 FbLb m
এখানে F (N) প্রতিটি তারে ক্রিয়াশীল টান এবং L (m) তারের দৈর্ঘ্য; চিত্রের মান বসালে সম্প্রসারণ পাওয়া যাবে।
লক্ষ করো: PDF-এ প্রশ্নের চিত্র (ভার ও তারের দৈর্ঘ্য) ছাপা হয়নি, তাই সংখ্যাগত উত্তর দেওয়া সম্ভব নয়; সূত্র ও ধ্রুবকগুলো দেওয়া হলো।
সমান দৈর্ঘ্যের দুটি ভিন্ন পদার্থের তারের দৈর্ঘ্য বরাবর সমান বল প্রয়োগ করা হলো। ফলে দ্বিতীয় তারটি প্রথমটির 2.5 গুণ প্রসারিত হলো। তার দুটির ইয়ং-এর গুণাঙ্ক যথাক্রমে 1.8 × 1011 N m−2 ও 1.6 × 1011 N m−2। এদের ব্যাসের অনুপাত নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
প্রথম তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, Y1 = 1.8 × 1011 N m−2
দ্বিতীয় তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, Y2 = 1.6 × 1011 N m−2
2 mm2 প্রস্থচ্ছেদের একটি তারের সাথে 15 kg ভর ঝুলানো আছে। ভর ঝুলানো অবস্থায় তারটির দৈর্ঘ্য 4 m। তারের উপাদানের ইয়ং এর গুনাংক 1.3×1010 N m−2। ভরটি সরিয়ে নিলে তারটির দৈর্ঘ্য কি পরিমাণ সংকুচিত হবে?
0.17×10−2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট 25 টি ক্ষুদ্র পানির ফোটা মিলে একটি বড় ফোটা তৈরি করলো। এতে নির্গত শক্তির পরিমাণ নির্ণয় কর। (পানির পৃষ্ঠটান = 7.2×10−3 Nm−1)
পারদের আয়তন গুণাঙ্ক 2.2 × 1010 N m−2। এক মিটার পারদের আয়তন 2.2 × 10−6 m3 হ্রাস করতে (i) কি পরিমাণ কাজ করতে হবে? (ii) পারদের কি পরিমাণ স্থিতিশক্তি সঞ্চিত হবে?
দেওয়া আছে,
আয়তন গুণাঙ্ক, K = 2.2 × 1010 N m−2
আদি আয়তন, V = 1 m3
আয়তনের হ্রাস, ΔV = 2.2 × 10−6 m3
কাজ, W = ? স্থিতিশক্তি, U = ?
আমরা জানি, K = PVΔV
বা, P = KΔVV
= 2.2 × 1010 × 2.2 × 10−61
= 4.84 × 104 N m−2
চাপ শূন্য থেকে P পর্যন্ত সমহারে বাড়ে, তাই গড় চাপ = P/2
কাজ, W = 12 P ΔV
= 0.5 × 4.84 × 104 × 2.2 × 10−6
∴ W = 5.32 × 10−2 J
এই কাজই পারদে স্থিতিশক্তিরূপে সঞ্চিত হয়।
∴ U = W = 5.32 × 10−2 J
উত্তর: (i) 5.32 × 10−2 J; (ii) 5.32 × 10−2 J
লক্ষ করো: "এক মিটার পারদ" বলতে 1 m3 আয়তনের পারদ ধরা হয়েছে।
দুইটি তারের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 3 m এবং এদের ইয়ং এর গুণাংক যথাক্রমে 1.6 × 1011 N m−2 এবং 1.8 × 1011 N m−2। তার দুইটির দৈর্ঘ্য বরাবর সমান বল প্রয়োগ করা হলে দেখা যায় দ্বিতীয়টি প্রথমটির দ্বিগুণ প্রসারিত হয়েছে। তার দুইটির ব্যাসার্ধের অনুপাত নির্ণয় কর।
দুইটি নির্দিষ্ট প্রান্ত বিন্দুর মধ্যবর্তী 30 m লম্বা একটি অ্যালুমিনিয়ামের তারের মধ্যে শীতকালে টানা বল 200 KN। শীত ও গ্রীষ্মকালের মধ্যে পারিপার্শ্বিক তাপমাত্রার ব্যবধান 25°C। যদি তারের ব্যাসার্ধ 1.5 cm, তারের উপাদানের তাপীয় দৈর্ঘ্য প্রসারাংক 24 × 10−6 /°C এবং ইয়ং এর গুণাংক 7 × 107 N/cm2 হয় তবে গ্রীষ্মকালে তারের মধ্যে সৃষ্ট অতিরিক্ত বলের পরিমাণ এবং এই অতিরিক্ত বলের ধরণ নির্ণয় কর। তখন তারের মধ্যে সর্বসাকুল্যে বলের পরিমাণ কত?
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য, L = 30 m
শীতকালে টান, F0 = 200 kN = 2 × 105 N
তাপমাত্রা পার্থক্য, Δθ = 25°C
ব্যাসার্ধ, r = 1.5 cm = 0.015 m
α = 24 × 10−6 °C−1
Y = 7 × 107 N cm−2
= 7 × 1011 N m−2
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πr2
= π × (0.015)2
= 7.07 × 10−4 m2
অতিরিক্ত বল নির্ণয়:
প্রান্ত দুটি স্থির, তাই গ্রীষ্মে প্রসারণ বাধা পায়।
লক্ষ করো: গ্রীষ্মে প্রাথমিক 200 kN টানের সাথে বিপরীতমুখী সৃষ্ট বল যুক্ত হয় ধরা হয়েছে। বাস্তবে তার চাপ নিতে পারে না, তাই শিথিল হয়ে ঝুলে পড়বে। এখানে প্রশ্নের নিয়ম মেনে শুধু সংখ্যাগত ফল দেওয়া হয়েছে।
বিখ্যাত টাইটানিক জাহাজের ওজন 46000 tons (প্রায়)। যাত্রার প্রাক্কালে জাহাজটির মোট আয়তনের এক তৃতীয়াংশ পানির নীচে ছিল। সমুদ্রের পানির ঘনত্ব 1.025 gm/cc হলে জাহাজটির আয়তন কত? বরফখণ্ডে ধাক্কা লাগার পর যদি প্রতি সেকেণ্ডে 3 million cc পানি জাহাজটিতে প্রবেশ করে তাহলে প্রতি ঘন্টায় জাহাজটির কত অংশ ডুবতে থাকবে?
দেওয়া আছে,
জাহাজের ভর, m = 46000 টন
= 46000 × 1000 kg = 4.6 × 107 kg
পানির ঘনত্ব, ρ = 1.025 g cm−3
= 1025 kg m−3
নিমজ্জিত অংশ = মোট আয়তনের 1/3
জাহাজের আয়তন নির্ণয়:
ভাসমান অবস্থায় জাহাজের ওজন = প্লবতা
বা, mg = Vনিমজ্জিত ρg
বা, Vনিমজ্জিত = m/ρ
= 4.6 × 107/1025 = 4.488 × 104 m3
মোট আয়তন, V = 3 × Vনিমজ্জিত
∴ V = 1.346 × 105 m3
ডুবে যাওয়ার অংশ নির্ণয়:
প্রতি সেকেন্ডে প্রবেশকৃত পানি
= 3 × 106 cm3 = 3 m3
প্রতি ঘণ্টায় (3600 s) প্রবেশকৃত পানি
= 3 × 3600 = 10800 m3
অংশ = 10800/(1.346 × 105)
= 0.0802 ≈ 1/12.5
উত্তর: জাহাজের আয়তন ≈ 1.35 × 105 m3; প্রতি ঘণ্টায় জাহাজের আয়তনের প্রায় 0.08 অংশ (≈ 8%) ডুবতে থাকবে
লক্ষ করো: "টন" বলতে মেট্রিক টন (1000 kg) ধরা হয়েছে। জাহাজে ঢোকা পানির আয়তনকে জাহাজের মোট আয়তনের সাথে তুলনা করে "অংশ" নির্ণয় করা হয়েছে।
পানির ফোটা বায়ুর মধ্যে দিয়ে 1.2 cm s−1 অন্ত্য বেগে পতিত হলে ফোটাটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। দেওয়া আছে, বাতাসের সান্দ্রতা সহগ = 1.8 × 10−4 N s m−2 এবং বাতাসের ঘনত্ব = 1.21 × 10−3 g cm−3।
লক্ষ করো: বাকি সব রাশি CGS এককে দেওয়া এবং বাতাসের প্রকৃত সান্দ্রতা প্রায় 1.8 × 10−4 poise (= dyne s cm−2), তাই প্রশ্নে ছাপা "N s m−2" এককটি ছাপার ভুল ধরা হলো। এককটি যেমন ছাপা আছে তেমন ধরলে r ≈ 3.15 × 10−5 m হতো।
দুটি সমান দৈর্ঘ্যের তারের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1:2। এদের উপর একটি সমান বল প্রয়োগ করা হল। যদি তার দুটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির অনুপাত 3:1 হয় তবে তার দুটির উপাদানের ইয়ং এর গুণাংকের অনুপাত নির্ণয় কর।
2 টি বিভিন্ন উপাদানের তৈরি তারের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 m এবং ইহাদের ব্যাস যথাক্রমে 2 mm এবং 4 mm। প্রথম পদার্থের ইয়ং এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক দ্বিতীয় পদার্থের ইয়ং এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক এর চেয়ে চারগুণ বেশি। দৈর্ঘ্য বরাবর উভয়ের উপরই 100 kg ওজনের বল প্রয়োগ করলে, প্রথম ও দ্বিতীয় তারের প্রসারের তুলনা বাহির কর।
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য, L1 = L2 = 10 m
ব্যাস, d1 = 2 mm, d2 = 4 mm
ইয়ং গুণাঙ্ক, Y1 = 4Y2
বল, F1 = F2 = 100 kg wt
প্রসারের অনুপাত, l1l2 = ?
আমরা জানি,
Y = FLAl, বা, l = FLAY
এখানে A = π4d2
বা, l = 4FLπd2Y
∴ l1l2 = d22Y2d12Y1
= 42 × Y222 × 4Y2
= 1616
= 1
উত্তর: l1 : l2 = 1 : 1, অর্থাৎ দুই তারের প্রসার সমান
দুটি নির্দিষ্ট প্রান্ত বিন্দুর মধ্যবর্তী 50 মিটার লম্বা একটি আলুমিনিয়াম তারের মধ্যে শীতকালে টানা বল 100 kN। শীত ও গ্রীষ্মকালের মধ্যে পারিপার্শ্বিক তাপমাত্রা ব্যবধান 20°C। যদি তারের ব্যাসার্ধ 1 সে. মি. উপাদানের তাপীয় দৈর্ঘ্য প্রসারাংক 20 × 10−6 °C−1 এবং ইয়ং এর গুণাঙ্ক 1.1 × 107 N cm−2 হয় তবে গ্রীষ্মকালে তারের মধ্যে সৃষ্ট বলের পরিমাণ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
শীতকালে টান, F1 = 100 kN = 105 N
তাপমাত্রার পার্থক্য, Δθ = 20°C
ব্যাসার্ধ, r = 1 cm = 0.01 m
দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ, α = 20 × 10−6 °C−1
ইয়ং গুণাঙ্ক, Y = 1.1 × 107 N cm−2 = 1.1 × 1011 N m−2
গ্রীষ্মকালে টান, F2 = ?
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = π r2
= 3.1416 × (0.01)2 = 3.1416 × 10−4 m2
তাপমাত্রা বাড়লে তার প্রসারিত হতে চায়, কিন্তু প্রান্ত দুটি আটকানো। ফলে টান কমে যায়।
সমান দৈর্ঘ্য ও r = 0.5 cm ব্যাসার্ধের দুটি ইস্পাত তারের সাহায্যে 45 kg ভরের একটি ট্রাফিক লাইট ঝুলানো আছে। যদি তার দুটি অনুভূমিকের সাথে 15° কোণ তৈরি করে, তাহলে ট্রাফিক লাইটের ওজনের জন্য তার দুটির দৈর্ঘ্য বিকৃতির পরিমাণ কত হবে? দেওয়া আছে, ইস্পাতের ইয়ং-এর গুণাংক 2 × 1011 N m−2।
দেওয়া আছে,
ভর, m = 45 kg
g = 9.8 m s−2
তারের ব্যাসার্ধ, r = 0.5 cm = 5 × 10−3 m
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 15°
ইয়ং-এর গুণাংক, Y = 2 × 1011 N m−2
দৈর্ঘ্য বিকৃতি, lL = ?
তার দুটি প্রতিসম, তাই উভয় তারে টান সমান (T)। অনুভূমিক উপাংশ পরস্পরকে বাতিল করে; উল্লম্ব দিকে সাম্যাবস্থায়,
দুটি তারের দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু ব্যাস যথাক্রমে 3 mm এবং 6 mm। তার দুইটিকে সমান বলে টানলে প্রথমটির দৈর্ঘ্যবৃদ্ধি দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্যবৃদ্ধির তিনগুণ হয়। তার দুটির মধ্যে কোনটি বেশি স্থিতিস্থাপক? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তোমার মতামত ব্যক্ত কর।
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য, L1 = L2 = L
ব্যাসার্ধ, r1 = 1.5 mm
r2 = 3 mm
প্রযুক্ত বল, F1 = F2 = F
দৈর্ঘ্যবৃদ্ধি, l1 = 3l2
ইয়ং এর গুণাঙ্ক, Y1 : Y2 = ?
আমরা জানি,
Y = FLAl = FLπr2 l
∴ Y1Y2 = r22 l2r12 l1
= (3)2 × l2(1.5)2 × 3l2
= 92.25 × 3 = 43
∴ Y1 : Y2 = 4 : 3
Y1 > Y2 হওয়ায় প্রথম তারের (3 mm ব্যাসের) ইয়ং এর গুণাঙ্ক বেশি, অর্থাৎ সমান পীড়নে বিকৃতি কম।
উত্তর: প্রথম তারটি (3 mm ব্যাসের) বেশি স্থিতিস্থাপক; Y1 : Y2 = 4 : 3
পানির গভীরতা মাপার জন্য একটি জলাশয়ের পানির পৃষ্ঠ থেকে 0.005 m ব্যাসার্ধের এবং 2.5 × 103 kg m−3 ঘনত্বের এক বল ছেড়ে দেওয়া হল। 10 s পর বলটি জলাশয়ের তলায় পড়ল। যদি 9 s-এ বলটি প্রান্তিক বেগ অর্জন করে থাকে, তাহলে জলাশয়ের গভীরতা নির্ণয় কর। [পানির সান্দ্রতা η = 1.6 × 10−3 N s m−2 এবং ঘনত্ব 1000 kg m−3]
দেওয়া আছে,
বলের ব্যাসার্ধ, r = 0.005 m
বলের ঘনত্ব, ρs = 2.5 × 103 kg m−3
পানির ঘনত্ব, ρf = 1000 kg m−3
সান্দ্রতা, η = 1.6 × 10−3 N s m−2
মোট সময়, t = 10 s; g = 9.8 m s−2
গভীরতা, s = ?
বলের উপর নিচের দিকে ওজন, ওপরের দিকে প্লবতা ও সান্দ্র বল কাজ করে।
2 mm ব্যাসের একটি ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য 15% বৃদ্ধি করতে কত kN বল প্রয়োগ করতে হবে? এর ফলে তারের ব্যাসের কতটা পরিবর্তন হবে? ইস্পাতের ইয়ং-এর গুণাংক 2 × 1011 N m−2 এবং পয়সনের অনুপাত 0.25।
পানির উপরিতলে পানির ঘনত্ব 1.03 × 103 kg m−3 হলে 800 atm চাপ গভীরতায় পানির ঘনত্ব কত হবে? [দেওয়া আছে, পানির সংনম্যতা = 45.8 × 10−11 Pa−1 এবং 1 atm = 1.013 × 105 Pa]
দেওয়া আছে,
উপরিতলে ঘনত্ব, ρ = 1.03 × 103 kg m−3
চাপ বৃদ্ধি, ΔP = 800 atm = 800 × 1.013 × 105 Pa = 8.104 × 107 Pa
একটি দেয়াল হতে 4.8 cm ব্যাসের একটি এলুমিনিয়ামের দণ্ড অনুভূমিকভাবে 5.3 cm প্রক্ষেপিত আছে। দণ্ডটির শেষ প্রান্তে 1200 kg ভরের একটি বস্তু ঝোলানো হল। এলুমিনিয়ামের ব্যবর্তন গুণাংক 3 × 1010 N m−2। দণ্ডটির ভরকে উপেক্ষা করে, (ক) দণ্ডটির উপর ব্যবর্তন পীড়ন, এবং (খ) দণ্ডটির প্রান্তের উল্লম্ব বিচ্যুতি নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
দণ্ডের ব্যাস = 4.8 cm, ব্যাসার্ধ, r = 2.4 cm = 2.4 × 10−2 m
প্রতিটি 1 mm ব্যাসার্ধের আটটি বৃষ্টির ফোঁটা 5 cm s−1 প্রান্তিক বেগে পতনশীল। যদি আটটি ফোঁটা একত্রিত হয়ে একটি বড় ফোঁটায় পরিণত হয়, তাহলে নির্গত শক্তির পরিমাণ নির্ণয় কর। [দেওয়া আছে, পানির পৃষ্ঠটান = 7.4 × 10−2 N m−1]
দেওয়া আছে,
ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ, r = 1 mm = 10−3 m
ফোঁটার সংখ্যা, n = 8
পৃষ্ঠটান, T = 7.4 × 10−2 N m−1
নির্গত শক্তি, E = ?
আয়তন সংরক্ষণ থেকে, (4/3)πR3 = 8 × (4/3)πr3
বা, R3 = 8r3
বা, R = 2r = 2 mm = 2 × 10−3 m
ক্ষেত্রফল হ্রাস, ΔA = 8 × 4πr2 − 4πR2
বা, ΔA = 4π(8 × 10−6 − 4 × 10−6)
বা, ΔA = 4π × 4 × 10−6
বা, ΔA = 5.027 × 10−5 m2
নির্গত শক্তি, E = T × ΔA
বা, E = 7.4 × 10−2 × 5.027 × 10−5
∴ E = 3.72 × 10−6 J
উত্তর: 3.72 × 10−6 J
লক্ষ করো: প্রান্তিক বেগের তথ্য এই প্রশ্নে প্রয়োজন হয় না।
1.34 × 10−4 kg এবং 4.4 × 10−3 m ব্যাস বিশিষ্ট একটি কাঁচের বল 0.943 × 103 kg m−3 ঘনত্ব বিশিষ্ট তেলের মধ্য দিয়ে সুষম বেগে 6.4 s সময়ে 0.381 m নীচে পড়ে। তেলের সান্দ্রতার সহগের মান নির্ণয় কর।
2 mm ব্যাসের একটি ইস্পাতের তার 20°C তাপমাত্রায় দুটি বিন্দুর মধ্যে টান টান অবস্থায় রাখা আছে। যদি তাপমাত্রা 10°C এ নেমে আসে তাহলে তারটির মধ্যে কত টেনশন (বল) তৈরি হবে, বের করো। (ইস্পাতের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি গুণাঙ্ক = 1.1 × 10−5 °C−1 এবং তারটির ইয়ং গুণাঙ্ক = 2.1 × 1011 N m−2)।
দেওয়া আছে,
তারের ব্যাস = 2 mm, ব্যাসার্ধ, r = 1 mm = 10−3 m
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πr2 = π × (10−3)2 m2
তাপমাত্রা হ্রাস, Δθ = 20 − 10 = 10°C
দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক, α = 1.1 × 10−5 °C−1
ইয়ং গুণাঙ্ক, Y = 2.1 × 1011 N m−2
টেনশন, F = ?
আমরা জানি,
তাপমাত্রা কমলে তার সংকুচিত হতে চায়, কিন্তু প্রান্ত দুটি আটকানো থাকায় দৈর্ঘ্য পরিবর্তন হয় না।
