রুয়েট ২০০৫ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

ট্রেনের ত্বরণ, a = 5 m s⁻², আদিবেগ = 0

গাড়ির সমবেগ, v = 50 m s⁻¹; গাড়ি ট্রেনের 50 m সামনে থেকে শুরু করে।

(1ম অংশ) গাড়ি কত পথ চলার পর ট্রেনের পিছনে পড়বে, নির্ণয়:

ধরি, t₁ সময় পর ট্রেন গাড়িকে ধরে ফেলে।

ট্রেনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = (1/2)at₁² = 2.5t₁²

গাড়ির অবস্থান = 50 + 50t₁

একই অবস্থানে এলে, 2.5t₁² = 50 + 50t₁

বা, t₁² − 20t₁ − 20 = 0

বা, t₁ = (20 + 400 + 80)/2 = 20.95 s

গাড়ির অতিক্রান্ত পথ = 50 × 20.95 = 1047.7 m ≈ 1048 m

(2য় অংশ) ট্রেন ও গাড়ি পুনরায় একই অবস্থানে আসার সময়:

আরও 4.05 s পর মোট সময়, t₂ = 20.95 + 4.05 = 25 s

তখন ট্রেনের বেগ = at₂ = 5 × 25 = 125 m s⁻¹

এর এক পঞ্চমাংশ, v′ = 125/5 = 25 m s⁻¹ (এরপর সমবেগ)

t₂ = 25 s-এ ট্রেনের অবস্থান = 2.5 × 25² = 1562.5 m

গাড়ির অবস্থান = 50 + 50 × 25 = 1300 m

ট্রেন এগিয়ে আছে = 1562.5 − 1300 = 262.5 m

গাড়ি ট্রেনের চেয়ে দ্রুত, আপেক্ষিক বেগ = 50 − 25 = 25 m s⁻¹

গাড়ির ট্রেনকে ধরতে সময় = 262.5/25 = 10.5 s

মোট সময় = 25 + 10.5 = 35.5 s

উত্তর: (1) গাড়ি প্রায় 1048 m চলার পর ট্রেনের পিছনে পড়বে; (2) যাত্রা শুরুর 35.5 s পর (গতি বদলের 10.5 s পর) ট্রেন ও গাড়ি একই অবস্থানে আসবে

লক্ষ করো: "আরও 4.05 sec" বলতে ট্রেন গাড়িকে অতিক্রম করার পর আরও 4.05 s ধরা হয়েছে (মোট ≈ 25 s)।

দেওয়া আছে,

আদি কৌণিক বেগ, ω₀ = 0 (সুইচ অন করার সময় পাখা স্থির)

শেষ কৌণিক বেগ, ω = 20 rad s⁻¹

কৌণিক ত্বরণ, α = ?

আমরা জানি,

ω² = ω₀² + 2αθ

(a) সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত না হলে (10 বার ঘূর্ণনেই ত্বরণ চলে) নির্ণয়:

কৌণিক সরণ, θ = 10 × 2π = 20π rad

বা, (20)² = 0 + 2 × α × 20π

বা, α = 400/(40π)

বা, α = 10/π

∴ α = 3.18 rad s⁻²

(b) 8 বার ঘূর্ণনে সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত হলে নির্ণয়:

এই ক্ষেত্রে 8 বার ঘূর্ণনের মধ্যেই ত্বরণ হয়ে 20 rad s⁻¹ বেগ পায়; বাকি 2 বার সমকৌণিক বেগে ঘোরে।

ত্বরিত অংশের কৌণিক সরণ, θ′ = 8 × 2π = 16π rad

বা, (20)² = 0 + 2 × α × 16π

বা, α = 400/(32π)

বা, α = 12.5/π

∴ α = 3.98 rad s⁻²

উত্তর: (a) 3.18 rad s⁻²; (b) 3.98 rad s⁻²

দেওয়া আছে,

ফুটবলের ভর, m = 0.75 kg

ফুটবলের আদিবেগ, u = 0 (স্থির বল)

শেষ বেগ, v = 18 m s⁻¹

বলের ঘাত, J = ?

আমরা জানি, ঘাত = ভরবেগের পরিবর্তন

বা, J = mv − mu

বা, J = 0.75 × 18 − 0.75 × 0

বা, J = 13.5 kg m s⁻¹

∴ J = 13.5 N s

উত্তর: 13.5 N s

লক্ষ করো: নৌকা ও লাফের তথ্য (300 kg, 60 kg, 20 m s⁻¹) ঘাত নির্ণয়ে লাগে না। বলকে স্থির ধরে নেওয়া হয়েছে। বলটি নৌকার সাথে 4 m s⁻¹ বেগে বিপরীত দিকে চলমান ধরলে ঘাত হতো 0.75 × (18 + 4) = 16.5 N s।

দেওয়া আছে,

প্রতি মিনিটে পানির ভর = 1200 × 10 = 12000 lb

অর্থাৎ প্রতি সেকেন্ডে ভর, m = 12000/60 = 200 lb

উচ্চতা, h = 6 ft; নিক্ষেপ বেগ, v = 32 ft s⁻¹

g = 32 ft s⁻² (FPS পদ্ধতিতে)

অশ্বক্ষমতা, P = ?

প্রতি সেকেন্ডে কাজ = বিভবশক্তি + গতিশক্তি

বা, W = mgh + (1/2)mv² (m ভর ও g বল-একক পাউন্ডাল থেকে)

বিভবশক্তি = 200 × 32 × 6 = 38400 poundal ft (প্রতি সেকেন্ডে)

গতিশক্তি = (1/2) × 200 × (32)² = 102400 poundal ft (প্রতি সেকেন্ডে)

মোট কাজের হার = 38400 + 102400 = 140800 poundal ft s⁻¹

বা, W = 140800/32 = 4400 ft lb-wt s⁻¹

আমরা জানি, 1 অশ্বক্ষমতা (HP) = 550 ft lb-wt s⁻¹

বা, P = 4400/550

∴ P = 8 HP

উত্তর: 8 HP

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্য, L = 3 m

ভর, m = 20 g = 0.02 kg

বল, F = 50 N

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, ΔL = 1 mm = 10⁻³ m

ঘনত্ব, ρ = 7.5 × 10³ kg m⁻³

ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, Y = ?

তারের আয়তন, V = m/ρ = 0.02/(7.5 × 10³) = 2.667 × 10⁻⁶ m³

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = V/L

বা, A = 2.667 × 10⁻⁶/3 = 8.889 × 10⁻⁷ m²

আমরা জানি,

Y = (F/A)/(ΔL/L) = FL/(AΔL)

বা, Y = (50 × 3)/(8.889 × 10⁻⁷ × 10⁻³)

বা, Y = 150/(8.889 × 10⁻¹⁰)

∴ Y = 1.69 × 10¹¹ N m⁻²

উত্তর: 1.69 × 10¹¹ N m⁻²

দেওয়া আছে,

বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = 450 m

লাইনদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, l = 1 m

বেগ, v = 75.6 km/h = 75.6 × 1000/3600 = 21 m s⁻¹

g = 9.8 m s⁻²

উচ্চতার পার্থক্য, h = ?

ব্যাংকিং কোণ θ হলে,

tanθ = v²/(rg)

বা, tanθ = (21)²/(450 × 9.8)

বা, tanθ = 441/4410 = 0.1

θ ছোট হওয়ায়, sinθ ≈ tanθ

আবার, sinθ = h/l

বা, h = l × tanθ = 1 × 0.1

∴ h = 0.1 m = 10 cm

উত্তর: 10 cm (0.1 m)

দেওয়া আছে,

হাতুড়ির ভর, m = 1 kg

হাতুড়ির বেগ, v = 4 m s⁻¹

পেরেকের প্রবেশ দূরত্ব, s = 0.015 m

গড় বাধাদানকারী বল, F = ?

আঘাতের মুহূর্তে হাতুড়ির গতিশক্তি = (1/2)mv²

বা, K = (1/2) × 1 × (4)² = 8 J

এই শক্তি কাঠের বাধার বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে, F × s = K

বা, F = K/s = 8/0.015

∴ F = 533 N

উত্তর: 533 N

লক্ষ করো: পেরেকের ভর ও হাতুড়ি-পেরেকের সংঘর্ষে শক্তিক্ষয় বিবেচনা না করে হাতুড়ির পুরো গতিশক্তি কাঠের বাধায় ব্যয় হয়েছে ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

পৃথিবীতে সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T_e = 2 s

M_e = 81M_m; R_e = 4R_m

(1ম অংশ) চন্দ্রে দোলনকাল, T_m = ?

আমরা জানি,

g = GM/R²

বা, g_m/g_e = (M_m/M_e) × (R_e/R_m)²

বা, g_m/g_e = (1/81) × (4)² = 16/81

আবার, T = 2πl/g

বা, T_m/T_e = g_e/g_m = 81/16 = 9/4

বা, T_m = 2 × 9/4

∴ T_m = 4.5 s

(2য় অংশ) চন্দ্রে দোলকটি 1 ঘণ্টা দেখালে পৃথিবীতে অতিবাহিত সময় নির্ণয়:

ঘড়ি প্রতি দোলনকে 2 s ধরে। 1 ঘণ্টা = 3600 s দেখাতে দোলন সংখ্যা = 3600/2 = 1800

চন্দ্রে 1800 দোলনে প্রকৃত সময় = 1800 × 4.5 = 8100 s

∴ প্রকৃত সময় = 8100 s = 2.25 ঘণ্টা

(3য় অংশ) বিভিন্ন অবস্থায় দোলকের আচরণ:

(a) সমবেগে চলন্ত লিফটে ত্বরণ শূন্য, তাই কার্যকর g অপরিবর্তিত। দোলনকাল আগের মতোই থাকে (পৃথিবীতে 2 s)।

(b) ঘূর্ণায়মান কৃত্রিম উপগ্রহের ভেতরে বস্তু ভারহীন (g_{কার্যকর} = 0)। T = 2πl/g → ∞, দোলক দোলে না; যেখানে ছেড়ে দেওয়া হবে সেখানেই থাকবে।

(c) পৃথিবীর কেন্দ্রে g = 0, তাই (b)-এর মতো দোলকের ওপর প্রত্যয়নী (ফিরিয়ে আনার) বল থাকে না; দোলক দোলে না, দোলনকাল অসীম।

উত্তর: (1) 4.5 s; (2) 2.25 ঘণ্টা (8100 s); (3) (a) দোলনকাল অপরিবর্তিত, (b) ও (c) দোলক দোলে না

দেওয়া আছে,

পুকুরের গভীরতা, h = 6 m

উপরিতলের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = 300 K

তলদেশের তাপমাত্রা, T₁ = 27 − (0.5 × 6) = 24°C = 297 K

বায়ুমণ্ডলীয় চাপ, P₀ = 1.013 × 10⁵ Pa; পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m⁻³; g = 9.8 m s⁻²

আয়তন পরিবর্তনের শতকরা হার = ?

তলদেশে চাপ, P₁ = P₀ + hρg

= 1.013 × 10⁵ + 6 × 1000 × 9.8

= 1.013 × 10⁵ + 0.588 × 10⁵ = 1.601 × 10⁵ Pa

উপরিতলে চাপ, P₂ = P₀ = 1.013 × 10⁵ Pa

আমরা জানি,

P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

বা, V₂/V₁ = (P₁/P₂) × (T₂/T₁)

বা, V₂/V₁ = (1.601/1.013) × (300/297)

বা, V₂/V₁ = 1.5805 × 1.0101 = 1.596

বা, (V₂ − V₁)/V₁ = 0.596

∴ আয়তন বৃদ্ধি = 59.6%

উত্তর: আয়তন প্রায় 59.6% বৃদ্ধি পাবে

লক্ষ করো: প্রশ্নে বায়ুমণ্ডলীয় চাপ দেওয়া নেই; 1.013 × 10⁵ Pa ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক তাপমাত্রা, T₁ = 47°C = 320 K

চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = 2V₁

হঠাৎ প্রসারণ রুদ্ধতাপীয় (তাপের আদান-প্রদানের সময় থাকে না)।

গ্যাসের ধরন উল্লেখ নেই; তাই বায়ুর মতো দ্বিপরমাণুক গ্যাস ধরে γ = 1.4 নেওয়া হলো।

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

আমরা জানি,

T₁V₁^γ−1 = T₂V₂^γ−1

বা, T₂ = T₁(V₁/V₂)^γ−1

বা, T₂ = 320 × (1/2)^0.4

বা, T₂ = 320 × 0.758

বা, T₂ = 242.5 K

∴ T₂ = 242.5 − 273 = −30.5°C

উত্তর: প্রায় 242.5 K (−30.5°C)

লক্ষ করো: γ দেওয়া নেই; γ = 1.4 ধরা হয়েছে। এক-পরমাণুক গ্যাস (γ = 5/3) হলে T₂ = 320 × (1/2)^2/3 = 201.6 K।

দেওয়া আছে,

শব্দের বেগ, v = 320 m s⁻¹

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 200 Hz (উৎস স্থির)

শ্রোতার বেগ, v₀ = 12.8 m s⁻¹

শ্রুত কম্পাঙ্ক, f′ = ?

আমরা জানি,

f′ = f(v ± v₀)/v

(ক) উৎসের দিকে অগ্রসরমান অবস্থায়:

f′ = f(v + v₀)/v

বা, f′ = 200 × (320 + 12.8)/320

বা, f′ = 200 × 332.8/320

∴ f′ = 208 Hz

(খ) উৎস থেকে দূরে যাওয়ার সময়:

f′ = f(v − v₀)/v

বা, f′ = 200 × (320 − 12.8)/320

বা, f′ = 200 × 307.2/320

∴ f′ = 192 Hz

উত্তর: (ক) 208 Hz; (খ) 192 Hz

দেওয়া আছে,

প্রথম অবস্থায় (উত্তর মেরু উত্তর দিকে) নিরপেক্ষ বিন্দুর দূরত্ব, r₁ = 10 cm

নতুন নিরপেক্ষ বিন্দুর দূরত্ব, r₂ = ?

চুম্বকের উত্তর মেরু উত্তর দিকে থাকলে চুম্বকের নিরক্ষীয় রেখায় চুম্বকের ক্ষেত্র দক্ষিণমুখী। পৃথিবীর অনুভূমিক ক্ষেত্র উত্তরমুখী, তাই নিরপেক্ষ বিন্দু নিরক্ষীয় রেখায় (মধ্যবিন্দু থেকে 10 cm-এ) পাওয়া যায়।

চৌম্বকটিকে 180° ঘোরালে এর অক্ষীয় রেখায় ক্ষেত্র দক্ষিণমুখী, তাই নতুন নিরপেক্ষ বিন্দু অক্ষীয় রেখায় পাওয়া যাবে।

আমরা জানি, নিরক্ষীয় রেখায় ক্ষেত্র, B_e = (μ₀/4π) × M/r₁³

অক্ষীয় রেখায় ক্ষেত্র, B_a = (μ₀/4π) × 2M/r₂³

উভয় ক্ষেত্রেই নিরপেক্ষ বিন্দুতে B = B_H (পৃথিবীর অনুভূমিক উপাংশ)

বা, M/r₁³ = 2M/r₂³

বা, r₂³ = 2r₁³

বা, r₂ = 2^1/3 × 10

বা, r₂ = 1.26 × 10

∴ r₂ = 12.6 cm

উত্তর: চৌম্বকের অক্ষীয় রেখায় মধ্যবিন্দু থেকে 12.6 cm দূরে

দেওয়া আছে,

একই সময়ে দোলন সংখ্যা, n₁ = 12 এবং n₂ = 15

একই স্থানে অনুভূমিক ক্ষেত্র, B_H একই।

সমান ভর ও আকার, তাই জড়তার ভ্রামক, I একই।

M₁ : M₂ = ?

আমরা জানি,

T = 2πI/(MB_H)

কম্পাঙ্ক, f = 1/T = (1/2π)MB_H/I

তাই f ∝ M

একই সময়ে দোলন সংখ্যা কম্পাঙ্কের সমানুপাতিক।

বা, n₁/n₂ = M₁/M₂

বা, M₁/M₂ = (n₁/n₂)² = (12/15)²

বা, M₁/M₂ = (4/5)² = 16/25

∴ M₁ : M₂ = 16 : 25

উত্তর: 16 : 25

দেওয়া আছে,

বাস্তব প্রতিবিম্বের দূরত্ব, v = 18 cm

বিবর্ধন, m = v/u = 2

লেন্সের ক্ষমতা, P = ?

বা, u = v/2 = 18/2 = 9 cm

আমরা জানি,

1/f = 1/u + 1/v

বা, 1/f = 1/9 + 1/18

বা, 1/f = (2 + 1)/18 = 3/18

বা, f = 6 cm = 0.06 m

ক্ষমতা, P = 1/f = 1/0.06

∴ P = 16.7 D

উত্তর: 16.7 D (উত্তল লেন্স)

দেওয়া আছে,

অর্গান নলের কম্পাঙ্ক, f₁ = 256 Hz

স্বরকম্প সংখ্যা = 8 প্রতি সেকেন্ডে

শব্দের বেগ, v = 286 m s⁻¹

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, Δl = ?

সুর শলাকার কম্পাঙ্ক কম, তাই f₂ = 256 − 8 = 248 Hz

নলকে সুর শলাকার সাথে একতালে বাজাতে এর কম্পাঙ্ক 248 Hz করতে হবে, অর্থাৎ নল লম্বা করতে হবে।

আমরা জানি, খোলা নলের জন্য, f = v/2l

প্রথমে নলের দৈর্ঘ্য, l₁ = v/(2f₁) = 286/(2 × 256) = 0.5586 m

পরে নলের দৈর্ঘ্য, l₂ = v/(2f₂) = 286/(2 × 248) = 0.5766 m

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, Δl = l₂ − l₁

বা, Δl = 0.5766 − 0.5586

∴ Δl = 0.0180 m = 1.80 cm

উত্তর: 1.80 cm

দেওয়া আছে,

আলোর বেগ, c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

দাঁত সংখ্যা, N = 770

প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা, n = 12

চাকা ও দর্পণের দূরত্ব, d = ?

ফিজোর পরীক্ষায় ফিরে আসা আলো পরের ফাঁক দিয়ে বেরোলে আলো দেখা যায়।

চাকার একটি দাঁতের স্থানে পরের ফাঁক আসতে সময়, t = 1/(Nn)

বা, t = 1/(770 × 12) = 1/9240 s

এই সময়ে আলো যায় ও আসে, মোট পথ = 2d

আমরা জানি,

c = 2d/t

বা, d = ct/2

বা, d = (3 × 10⁸ × 1/9240)/2

বা, d = 3 × 10⁸/18480

∴ d = 1.62 × 10⁴ m = 16.2 km

উত্তর: 16.2 km (≈ 1.62 × 10⁴ m)

দেওয়া আছে,

প্রথম বাহুর রোধ, P = 10 Ω

দ্বিতীয় বাহুর রোধ, Q = 8 Ω

তৃতীয় বাহুর রোধ, R = 20 Ω

চতুর্থ বাহুর রোধ, S = 32 Ω

S-এর সাথে সমান্তরালে যুক্ত রোধ, X = ?

ধরি, সমান্তরাল সমতুল্য রোধ S′

ভারসাম্যে,

P/Q = S′/R

বা, S′ = P × RQ

বা, S′ = 10 × 208 = 25 Ω

আবার, S′ = S XS + X

বা, 25 = 32 X32 + X

বা, 800 + 25X = 32X

বা, 7X = 800

∴ X = 114.3 Ω

উত্তর: 114.3 Ω

দেওয়া আছে,

ক্ষেত্রফল, A = 20 mm² = 20 × 10⁻⁶ m²

প্রলেপের পুরুত্ব, d = 0.1 mm = 10⁻⁴ m

প্রবাহ, I = 0.15 A

তড়িৎ রাসায়নিক তুল্যাংক, z = 1.118 × 10⁻⁶ kg C⁻¹

ঘনত্ব, ρ = 10500 kg m⁻³

সময়, t = ?

প্রলেপের আয়তন, V = A d

= 20 × 10⁻⁶ × 10⁻⁴ = 2 × 10⁻⁹ m³

প্রলেপের ভর, m = ρ V

= 10500 × 2 × 10⁻⁹ = 2.1 × 10⁻⁵ kg

আমরা জানি,

m = z I t

বা, t = mz I

বা, t = 2.1 × 10⁻⁵1.118 × 10⁻⁶ × 0.15

∴ t = 125.2 s ≈ 2.09 min

উত্তর: 125.2 s (প্রায় 2.09 মিনিট)

দেওয়া আছে,

নভোচারীর প্রাথমিক বয়স = 25 বছর

মহাকাশযানের বেগ, v = 1.8 × 10⁸ m s⁻¹

পৃথিবীর হিসাবে ভ্রমণকাল, t₀ = 30 বছর

c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

মহাকাশযানের ঘড়ির সময়, t = ?

আমরা জানি,

t = t₀1 − v²/c²

v/c = 1.8 × 10⁸3 × 10⁸ = 0.6

বা, t = 30 × 1 − 0.36

বা, t = 30 × 0.8 = 24 বছর

∴ বর্তমান বয়স = 25 + 24 = 49 বছর

উত্তর: 49 বছর

লক্ষ করো: 30 বছর বলতে পৃথিবীর ঘড়িতে ভ্রমণকাল ধরা হয়েছে; নভোচারীর নিজের ঘড়িতে সময় কেটেছে 24 বছর।

দেওয়া আছে,

রকেটের প্রকৃত দৈর্ঘ্য, L₀ = 100 m

পর্যবেক্ষকের মাপা দৈর্ঘ্য, L = 99 m

c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

রকেটের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

L = L₀1 − v²/c²

বা, LL₀ = 1 − v²/c²

বা, 0.99 = 1 − v²/c²

বা, 0.9801 = 1 − v²/c²

বা, v²/c² = 0.0199

বা, v/c = 0.141

∴ v = 0.141 × 3 × 10⁸

= 4.23 × 10⁷ m s⁻¹

উত্তর: 4.23 × 10⁷ m s⁻¹ (≈ 0.141c)