রুয়েট ২০০৮ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

পাম্পের ক্ষমতা (ইনপুট), P = 6 kW = 6000 W

উচ্চতা, h = 20 m

দক্ষতা, η = 82.2% = 0.822

সময়, t = 1 min = 60 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পানির ভর, m = ?

আমরা জানি,

কার্যকর ক্ষমতা = η × P

= 0.822 × 6000 = 4932 W

প্রতি মিনিটে কৃতকাজ, W = 4932 × 60

= 295920 J

আবার, W = mgh

বা, m = Wgh

= 2959209.8 × 20

= 1509.8 kg

1 লিটার পানির ভর ≈ 1 kg

∴ আয়তন ≈ 1510 লিটার

উত্তর: প্রতি মিনিটে প্রায় 1510 লিটার

দেওয়া আছে,

মোট ভর, m = 1950 + 50 = 2000 kg

প্রথম পর্যায়: u = 0, t₁ = 10 s

4 s পরে বেগ, v = 8 m s⁻¹

দ্বিতীয় পর্যায় (সমবেগ): t₂ = 10 min = 600 s

তৃতীয় পর্যায় (মন্দন): t₃ = 1 s, শেষ বেগ = 0

প্রথম পর্যায়ের ত্বরণ নির্ণয়:

v = u + at থেকে,

a = 8 − 04 = 2 m s⁻²

10 s পরে বেগ, v₁ = 0 + 2 × 10 = 20 m s⁻¹

অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়:

প্রথম পর্যায়ে, s₁ = (1/2)at₁²

= (1/2) × 2 × 10² = 100 m

দ্বিতীয় পর্যায়ে, s₂ = v₁t₂

= 20 × 600 = 12000 m

তৃতীয় পর্যায়ে, s₃ = v₁ + 02 × t₃

= 10 × 1 = 10 m

∴ মোট দূরত্ব, s = 100 + 12000 + 10

= 12110 m

থামাতে প্রযুক্ত বল নির্ণয়:

মন্দন, a′ = 0 − 201 = −20 m s⁻²

F = ma′ = 2000 × (−20)

= −40000 N

(ঋণাত্মক চিহ্ন বল গতির বিপরীতে)

উত্তর: মোট দূরত্ব 12110 m (≈ 12.11 km); থামাতে বল 4 × 10⁴ N

দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ভর, M_e = 81 M_m (M_m = চন্দ্রের ভর)

কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব, d = 38.6×10⁴ km

ধরি, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে x দূরে বস্তুর (ভর m) উপর টান সমান

তখন চন্দ্রের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = (d − x)

আমরা জানি,

পৃথিবীর টান = G M_e mx²

চন্দ্রের টান = G M_m m(d − x)²

শর্তমতে, 81 M_mx² = M_m(d − x)²

বা, (d − x)²x² = 181

বা, d − xx = 19

বা, 9d − 9x = x

বা, 10x = 9d

∴ x = 0.9 d = 0.9 × 38.6×10⁴ km

= 34.74×10⁴ km

চন্দ্রের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = 0.1 d = 3.86×10⁴ km

উত্তর: পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 34.74×10⁴ km (চন্দ্রের কেন্দ্র থেকে 3.86×10⁴ km) দূরে

দেওয়া আছে,

স্থির লিফটে দোলনকাল, T

লিফটের ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণ, a = g/4

লিফটে উঠার সময় দোলনকাল, T′ = ?

আমরা জানি,

স্থির লিফটে, T = 2πl/g

ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g′ = g + a = g + g/4 = 5g/4

∴ T′ = 2πl/g′

= 2π4l/5g

= 25 × 2πl/g

= 2T5

= 0.894 T

উত্তর: T′ = 2T/5 ≈ 0.894 T

লক্ষ করো: প্রশ্নে "দোলকের উপরের দিকে g/4 ত্বরণ" বলা আছে; লিফট (ও দোলক) ঊর্ধ্বমুখী g/4 ত্বরণে চলছে ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

প্রস্থচ্ছেদ, A = 2 mm² = 2 × 10⁻⁶ m²

ভর, m = 15 kg

দৈর্ঘ্য, L = 4 m

ইয়ং এর গুণাঙ্ক, Y = 1.3×10¹⁰ N m⁻²

g = 9.8 m s⁻²

সংকোচন, ΔL = ?

আমরা জানি,

Y = F LA ΔL

বা, ΔL = F LA Y = mgLA Y

= 15 × 9.8 × 42×10⁻⁶ × 1.3×10¹⁰

= 58826000

= 0.0226 m = 2.26 cm

উত্তর: প্রায় 2.26 cm (0.0226 m) সংকুচিত হবে

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m_w = 0.03 kg; তাপমাত্রা 50°C

বরফের ভর, m_i = 0.02 kg; তাপমাত্রা 0°C

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹ K⁻¹

বরফের গলনের সুপ্ততাপ, L = 3.36×10⁵ J kg⁻¹

আমরা জানি,

পানি 0°C-এ নামতে ছাড়ে, Q₁ = m_w s Δθ

= 0.03 × 4200 × 50 = 6300 J

সব বরফ গলতে দরকার, Q₂ = m_i L

= 0.02 × 3.36×10⁵ = 6720 J

Q₁ < Q₂, তাই সব বরফ গলবে না।

গলা বরফের ভর = 63003.36×10⁵ = 0.01875 kg

∴ মিশ্রণ বরফ-পানির সাম্যাবস্থায় থাকবে।

উত্তর: চূড়ান্ত তাপমাত্রা 0°C (মিশ্রণে 0.00125 kg বরফ অবশিষ্ট থাকবে)

দেওয়া আছে,

ঘনত্ব, ρ = 1.43 kg m⁻³

চাপ, p = 1.01×10⁵ N m⁻²

স্বাভাবিক তাপমাত্রা, T = 273 K

অক্সিজেনের মোলার ভর, M = 32 g = 0.032 kg

γ = 1.4

আমরা জানি,

এক মোল অক্সিজেনের আয়তন, V = Mρ

= 0.0321.43 = 0.02238 m³

pV = RT থেকে,

R = pVT

= 1.01×10⁵ × 0.02238273

= 8.28 J mol⁻¹ K⁻¹

আবার, C_p − C_v = R

এবং C_p = γ C_v

বা, γ C_v − C_v = R

বা, C_v = Rγ − 1

= 8.280.4 = 20.7 J mol⁻¹ K⁻¹

∴ C_p = 1.4 × 20.7

= 29.0 J mol⁻¹ K⁻¹

উত্তর: C_v ≈ 20.7 J mol⁻¹ K⁻¹; C_p ≈ 29.0 J mol⁻¹ K⁻¹

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 500 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 375 K

শোষিত তাপ, Q₁ = 252×10⁴ J

(i) দক্ষতা নির্ণয়:

η = 1 − T₂T₁

= 1 − 375500 = 0.25 = 25%

(ii) কাজের পরিমাণ নির্ণয়:

η = WQ₁ থেকে,

W = η Q₁ = 0.25 × 252×10⁴

= 63×10⁴ J

(iii) বর্জিত তাপ নির্ণয়:

Q₂ = Q₁ − W

= 252×10⁴ − 63×10⁴

= 189×10⁴ J

উত্তর: (i) 25%; (ii) 63×10⁴ J; (iii) 189×10⁴ J

দেওয়া আছে,

উৎসের কম্পাঙ্ক, f = 600 Hz (উৎস স্থির)

শব্দের বেগ, v = 300 m s⁻¹

আরোহীর বেগ, v_o = 16 km h⁻¹

= 160003600 = 4.44 m s⁻¹

অতিক্রম করার পূর্বে (আরোহী উৎসের দিকে আসছে):

f₁ = v + v_ov × f

= 300 + 4.44300 × 600

= 608.9 Hz

অতিক্রম করার পরে (আরোহী উৎস থেকে দূরে যাচ্ছে):

f₂ = v − v_ov × f

= 300 − 4.44300 × 600

= 591.1 Hz

উত্তর: অতিক্রমের পূর্বে ≈ 608.9 Hz; পরে ≈ 591.1 Hz

দেওয়া আছে,

বাতি: 15 টি × 100 W

পাখা: 5 টি, প্রতিটির প্রবাহ 0.6 A, V = 230 V

পাম্প: 1 টি, 0.75 hp (1 hp = 746 W)

দৈনিক চলার সময় = 7 h; অক্টোবরে 31 দিন

প্রতি ইউনিট (1 kWh) = 2.85 টাকা

আমরা জানি,

বাতির ক্ষমতা = 15 × 100 = 1500 W

পাখার ক্ষমতা = 5 × (230 × 0.6)

= 5 × 138 = 690 W

পাম্পের ক্ষমতা = 0.75 × 746 = 559.5 W

মোট ক্ষমতা = 1500 + 690 + 559.5

= 2749.5 W = 2.7495 kW

দৈনিক শক্তি = 2.7495 × 7

= 19.2465 kWh

অক্টোবর মাসে শক্তি = 19.2465 × 31

= 596.64 kWh = 596.64 ইউনিট

∴ বিল = 596.64 × 2.85

= 1700.43 টাকা

উত্তর: প্রায় 1700 টাকা

লক্ষ করো: ধরা হয়েছে: তিনটি যন্ত্রই দৈনিক 7 ঘণ্টা চলে; পাখার ক্ষমতা P = VI (পাওয়ার ফ্যাক্টর 1); 1 hp = 746 W; অক্টোবর মাসে 31 দিন।

দেওয়া আছে,

গ্যালভানোমিটারের রোধ, G = 50 Ω

সান্ট রোধ, S = 5 Ω

বর্তনীতে সংযোজিত রোধ, R = ?

আমরা জানি,

সান্টসহ গ্যালভানোমিটারের তুল্য রোধ (সমান্তরাল),

R′ = G SG + S

= 50 × 550 + 5

= 25055 = 4.545 Ω

সান্ট ছাড়া বর্তনীতে গ্যালভানোমিটারের রোধ ছিল 50 Ω।

মূল প্রবাহ অপরিবর্তিত রাখতে মোট রোধ আগের সমান থাকতে হবে,

অর্থাৎ R + R′ = G

বা, R = 50 − 4.545

= 45.45 Ω

উত্তর: বর্তনীতে শ্রেণিতে 45.45 Ω (= 500/11 Ω) রোধ যোগ করতে হবে

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 4 দিন

ক্ষয় = 60%, তাই অবশিষ্ট = 40%

অর্থাৎ NN₀ = 0.4

সময়, t = ?

আমরা জানি,

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = 0.693T_1/2

= 0.6934 = 0.1733 দিন⁻¹

N = N₀ e^−λt

বা, e^λt = N₀N = 10.4 = 2.5

বা, λt = ln 2.5 = 0.9163

বা, t = 0.91630.1733

= 5.29 দিন

উত্তর: প্রায় 5.29 দিন

দেওয়া আছে,

উচ্চতা, h = 500 m

প্রশ্নে ঊর্ধ্বমুখী বস্তুর বেগ দেওয়া নেই; ধরি তা u

ফেলা বস্তুর আদিবেগ = 0

ধরি, t সময় পরে বস্তুদ্বয় মিলিত হয়

আমরা জানি,

নিচে নামা বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব, s₁ = (1/2)gt²

উপরে ওঠা বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব, s₂ = ut − (1/2)gt²

মিলিত হলে, s₁ + s₂ = h

বা, (1/2)gt² + ut − (1/2)gt² = 500

বা, ut = 500

∴ t = 500u s

ভূমি থেকে মিলনস্থলের উচ্চতা, H = 500 − s₁

= 500 − (1/2) × 9.8 × 500²u² m

উদাহরণ: u = 100 m s⁻¹ হলে,

t = 500100 = 5 s

s₁ = (1/2) × 9.8 × 5² = 122.5 m

H = 500 − 122.5 = 377.5 m

উত্তর: t = 500/u সেকেন্ড পরে, ভূমি থেকে 500 − 4.9 × (500/u)² মিটার উচ্চতায় (উদাহরণ: u = 100 m s⁻¹ হলে 5 s পরে, ভূমি থেকে 377.5 m উচ্চতায়)

লক্ষ করো: ছাপা প্রশ্নে ঊর্ধ্বমুখী বস্তুর বেগ নেই। সময় t = h/u-তে g-এর প্রভাব নেই; u জানা থাকলে মান বসালেই উত্তর পাওয়া যাবে।

দেওয়া আছে,

ভর, m = 25 g = 0.025 kg

আদিবেগ, u = 100 cm s⁻¹ = 1 m s⁻¹

শেষ বেগ, v = 75 cm s⁻¹ = 0.75 m s⁻¹

দেয়ালের পুরুত্ব, s = 15 cm = 0.15 m

গড় বল, F = ?

আমরা জানি,

v² = u² + 2as

বা, a = v² − u²2s

= 0.5625 − 12 × 0.15

= −1.458 m s⁻²

∴ F = ma = 0.025 × (−1.458)

= −0.03646 N

(ঋণাত্মক চিহ্ন বল গতির বিপরীতে)

উত্তর: গড় বল ≈ 3.65 × 10⁻² N (= 3646 dyne), গতির বিপরীতে

দেওয়া আছে,

বলের আদিবেগ, u = 72 km h⁻¹ = 20 m s⁻¹

বলের মন্দন = 2 m s⁻²; বাউন্ডারি = 85 m

খেলোয়াড়ের বেগ, v_f = 15 km h⁻¹ = 4.167 m s⁻¹

খেলোয়াড় বাউন্ডারি থেকে 65 m দূরে বলের পেছনে

ত্বরণ, a = ?

2 s পর বলের অবস্থান:

s = ut − (1/2)×2×t² = 20 × 2 − 4 = 36 m

বেগ, v = 20 − 2 × 2 = 16 m s⁻¹

বাউন্ডারি পর্যন্ত বাকি দূরত্ব = 85 − 36 = 49 m

বাউন্ডারিতে পৌঁছাতে বলের সময় (τ):

49 = 16τ − τ²

বা, τ² − 16τ + 49 = 0

বা, τ = 16 − 602

= 4.127 s (ছোট মূল, কারণ বল আগে পৌঁছায়)

খেলোয়াড়ের ত্বরণ:

তাকে τ সময়ে 65 m যেতে হবে।

s = v_fτ + (1/2)aτ²

বা, 65 = 4.167 × 4.127 + (1/2) × a × (4.127)²

বা, 65 = 17.20 + 8.516 a

বা, a = 47.808.516

= 5.61 m s⁻²

উত্তর: প্রায় 5.61 m s⁻²

লক্ষ করো: খেলোয়াড় বলের পেছনে, বাউন্ডারি থেকে 65 m দূরে একই রেখায় আছেন ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

ফোকাস দূরত্ব, f = 0.25 m

বস্তুর দূরত্ব, u = 0.4 m

বস্তুর দৈর্ঘ্য, O = 0.2 m

আমরা জানি,

অবস্থান:

1v = 1f − 1u

= 10.25 − 10.4

= 4 − 2.5 = 1.5

∴ v = 0.667 m

প্রকৃতি: v ধনাত্মক, তাই প্রতিবিম্ব বাস্তব ও উল্টো (বস্তু বক্রতা কেন্দ্র 0.5 m-এর ভেতরে, তাই প্রতিবিম্ব বক্রতা কেন্দ্রের বাইরে ও বিবর্ধিত)।

আকার:

বিবর্ধন, m = vu = 0.6670.4 = 1.667

প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য = 1.667 × 0.2

= 0.333 m

উত্তর: প্রতিবিম্ব দর্পণ থেকে 0.667 m (66.7 cm) দূরে, বাস্তব ও উল্টো; দৈর্ঘ্য 0.333 m (33.3 cm)

দেওয়া আছে,

নিকট বিন্দু = 10 cm; দূর বিন্দু = 15 cm

লেন্সের ক্ষমতা, P = ?

লেন্স ব্যবহারে নিকটতম স্পষ্ট দূরত্ব, u = ?

লেন্সের ক্ষমতা নির্ণয়:

অসীমের বস্তুর অবাস্তব প্রতিবিম্ব দূর বিন্দুতে (15 cm) গঠিত হতে হবে।

তাই u = ∞, v = −15 cm

আমরা জানি, 1f = 1v − 1u

= 1−15 − 0

∴ f = −15 cm = −0.15 m

ক্ষমতা, P = 1f = 1−0.15

= −6.67 D

নিকটতম স্পষ্ট দূরত্ব নির্ণয়:

প্রতিবিম্ব নিকট বিন্দুতে গঠিত হলে v = −10 cm

1u = 1v − 1f

= 1−10 + 115

= −3 + 230 = −130

∴ u = −30 cm, অর্থাৎ 30 cm

উত্তর: লেন্সের ক্ষমতা −6.67 D (অবতল লেন্স); স্পষ্ট দর্শনের নিকটতম দূরত্ব 30 cm

লক্ষ করো: লেন্স ও চোখের মধ্যবর্তী দূরত্ব উপেক্ষা করা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

পাত্রের গভীরতা = 20 cm

প্রথম তরলের উচ্চতা, t₁ = 20 × (1/5) = 4 cm

প্রথম তরলের প্রতিসরাঙ্ক, μ₁ = 4/3

দ্বিতীয় তরলের উচ্চতা, t₂ = 20 − 4 = 16 cm

দ্বিতীয় তরলের প্রতিসরাঙ্ক, μ₂ = 1.6

আমরা জানি,

লম্বভাবে দেখলে প্রতিটি স্তরের আপাত গভীরতা = বাস্তব উচ্চতাপ্রতিসরাঙ্ক

∴ আপাত গভীরতা, d = t₁μ₁ + t₂μ₂

= 44/3 + 161.6

= 3 + 10

= 13 cm

স্তরের ক্রম বদলালেও যোগফল একই থাকে, তাই উপর থেকে বা নিচ থেকে তাকালে আপাত গভীরতা সমান।

উত্তর: উপর ও নিচ — দুই দিক থেকেই আপাত গভীরতা 13 cm

লক্ষ করো: প্রশ্নে তরল দুটির ক্রম বলা নেই; আপাত গভীরতা ক্রমের ওপর নির্ভর করে না। পাত্রের দেয়ালের পুরুত্ব উপেক্ষা করা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

প্রথমে শলাকা উলম্ব, অর্থাৎ আপাত বিনতি 90°

তাই বিনতি বৃত্তের তল চৌম্বক মধ্যতলের সাথে 90° কোণে আছে।

30° ঘুরানোর পর তল ও মধ্যতলের মধ্যবর্তী কোণ, α = 90° − 30° = 60°

তখন আপাত বিনতি, δ′ = 45°

প্রকৃত বিনতি, δ = ?

আমরা জানি,

তল মধ্যতলের সাথে α কোণে থাকলে ভূচৌম্বক ক্ষেত্রের

অনুভূমিক উপাংশের কার্যকর মান H cos α এবং উল্লম্ব উপাংশ V অপরিবর্তিত।

তাই tan δ′ = VH cos α = tan δcos α

বা, tan δ = tan δ′ × cos α

= tan 45° × cos 60°

= 1 × 0.5 = 0.5

∴ δ = tan⁻¹(0.5)

= 26.57°

উত্তর: বিনতি কোণের প্রকৃত মান ≈ 26.6°

দেওয়া আছে,

বেস কারেন্ট, I_B = 5×10⁻⁴ A

এমিটার কারেন্ট, I_E = 1×10⁻³ A

কালেক্টর কারেন্ট, I_C = ?

কারেন্ট গেইন, α = ?

আমরা জানি,

I_E = I_B + I_C

বা, I_C = I_E − I_B

= 1×10⁻³ − 5×10⁻⁴

= 5×10⁻⁴ A

আবার, α = I_CI_E

= 5×10⁻⁴1×10⁻³

= 0.5

উত্তর: I_C = 5×10⁻⁴ A; α = 0.5