বুয়েট ২০১৬ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

ভর, m = 3 kg

অবস্থান, x = 3t − 4t² + t³

কাজ, W = ? (t = 0 থেকে t = 4 s)

বেগ, v = dx/dt = 3 − 8t + 3t²

t = 0 তে, v₁ = 3 m s⁻¹

t = 4 s এ, v₂ = 3 − 32 + 48 = 19 m s⁻¹

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে,

W = (1/2)m(v₂² − v₁²)

বা, W = (1/2) × 3 × (19² − 3²)

বা, W = 1.5 × (361 − 9)

বা, W = 1.5 × 352

∴ W = 528 J

উত্তর: 528 J

দেওয়া আছে,

গোলকের ভর, M = 1 × 10⁴ kg

গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 1 m

কণার অবস্থান, r = 0.5 m (গোলকের ভেতরে)

G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

বল, F = ?

গোলকের ভেতরে r দূরত্বে শুধু r ব্যাসার্ধের অংশের ভর কাজ করে।

সুষম ঘনত্বের জন্য, ভেতরে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g′ = GMrR³

বা, F = m₁g′ = GMr m₁R³

বা, F = 6.673 × 10⁻¹¹ × 10⁴ × 0.51³ m₁

∴ F = 3.34 × 10⁻⁷ m₁ N

উত্তর: 3.34 × 10⁻⁷ m₁ N (কেন্দ্রের দিকে, m₁ kg-এ)

দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6.4 × 10⁶ m

কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, x = 5 × 10⁵ m

g = 9.8 m s⁻²

ত্বরণ, a = ?

পর্যায়কাল, T = ?

পৃথিবীর ভেতরে কেন্দ্র থেকে x দূরত্বে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g′ = gx/R

এটি কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাই a = −(g/R)x

a ∝ −x হওয়ায় বস্তুটি সরল ছন্দিত স্পন্দনে দোলে, যেখানে ω² = g/R।

ত্বরণ:

|a| = (g/R)x = 9.86.4 × 10⁶ × 5 × 10⁵

বা, |a| = 1.531 × 10⁻⁶ × 5 × 10⁵

∴ |a| = 0.766 m s⁻² (কেন্দ্রের দিকে)

পর্যায়কাল:

T = 2π/ω = 2πR/g

বা, T = 2 × 3.1416 × 6.4 × 10⁶/9.8

বা, T = 6.2832 × 808.1

∴ T = 5078 s

উত্তর: ত্বরণ ≈ 0.766 m s⁻² (কেন্দ্রমুখী); পর্যায়কাল ≈ 5078 s (প্রায় 84.6 min)

দেওয়া আছে,

ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ, r = 1 mm = 10⁻³ m

ফোঁটার সংখ্যা, n = 8

পৃষ্ঠটান, T = 7.4 × 10⁻² N m⁻¹

নির্গত শক্তি, E = ?

আয়তন সংরক্ষণ থেকে, (4/3)πR³ = 8 × (4/3)πr³

বা, R³ = 8r³

বা, R = 2r = 2 mm = 2 × 10⁻³ m

ক্ষেত্রফল হ্রাস, ΔA = 8 × 4πr² − 4πR²

বা, ΔA = 4π(8 × 10⁻⁶ − 4 × 10⁻⁶)

বা, ΔA = 4π × 4 × 10⁻⁶

বা, ΔA = 5.027 × 10⁻⁵ m²

নির্গত শক্তি, E = T × ΔA

বা, E = 7.4 × 10⁻² × 5.027 × 10⁻⁵

∴ E = 3.72 × 10⁻⁶ J

উত্তর: 3.72 × 10⁻⁶ J

লক্ষ করো: প্রান্তিক বেগের তথ্য এই প্রশ্নে প্রয়োজন হয় না।

দেওয়া আছে,

দণ্ডের ব্যাস = 4.8 cm, ব্যাসার্ধ, r = 2.4 cm = 2.4 × 10⁻² m

প্রক্ষেপিত দৈর্ঘ্য, l = 5.3 cm = 5.3 × 10⁻² m

ঝোলানো ভর, m = 1200 kg

ব্যবর্তন গুণাংক, η = 3 × 10¹⁰ N m⁻²

g = 9.8 m s⁻²

(ক) ব্যবর্তন পীড়ন নির্ণয়:

স্পর্শক বল, F = mg = 1200 × 9.8 = 11760 N

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πr²

বা, A = 3.1416 × (2.4 × 10⁻²)² = 1.810 × 10⁻³ m²

ব্যবর্তন পীড়ন = F/A

বা, = 11760/(1.810 × 10⁻³)

∴ = 6.5 × 10⁶ N m⁻²

(খ) উল্লম্ব বিচ্যুতি নির্ণয়:

আমরা জানি, η = ব্যবর্তন পীড়ন/ব্যবর্তন কোণ θ

বা, θ = 6.5 × 10⁶3 × 10¹⁰

বা, θ = 2.166 × 10⁻⁴ rad

বিচ্যুতি, Δx = lθ

বা, Δx = 5.3 × 10⁻² × 2.166 × 10⁻⁴

∴ Δx = 1.15 × 10⁻⁵ m = 1.15 × 10⁻³ cm

উত্তর: (ক) 6.5 × 10⁶ N m⁻²; (খ) 1.15 × 10⁻⁵ m

দেওয়া আছে,

গ্যাস এক পরমাণু বিশিষ্ট, তাই γ = 5/3

প্রাথমিক তাপমাত্রা, T₁ = 17°C = 290 K

অন্তিম আয়তন, V₂ = V₁/10

অন্তিম তাপমাত্রা, T₂ = ?

হঠাৎ সংকোচন হওয়ায় প্রক্রিয়াটি রুদ্ধতাপীয়।

আমরা জানি,

T₁V₁^γ−1 = T₂V₂^γ−1

বা, T₂ = T₁(V₁/V₂)^γ−1

= 290 × 10^2/3

= 290 × 4.642

∴ T₂ = 1346 K = 1073°C

উত্তর: 1346 K (≈ 1073°C)

দেওয়া আছে,

লাল আলোর কম্পাঙ্ক, f_r = 4.69 × 10¹⁴ Hz

লাল আলোতে ডোরা প্রস্থ, β_r = 2.4 × 10⁻⁴ m

নীল আলোর কম্পাঙ্ক, f_b = 7.5 × 10¹⁴ Hz

ডোরা প্রস্থের পরিবর্তন, Δβ = ?

আমরা জানি, ডোরা প্রস্থ β = λD/d এবং λ = c/f

∴ β ∝ 1/f

বা, β_bβ_r = f_rf_b

বা, β_b = 2.4 × 10⁻⁴ × 4.697.5

= 1.5 × 10⁻⁴ m

∴ Δβ = β_r − β_b

= (2.4 − 1.5) × 10⁻⁴ m

= 9 × 10⁻⁵ m

উত্তর: ডোরা প্রস্থ 9 × 10⁻⁵ m কমবে

দেওয়া আছে,

পেরেকের ভর, m₁ = 10 g = 0.01 kg

লোহার আপেক্ষিক তাপ, s₁ = 0.11 kcal kg⁻¹ °C⁻¹

পানির ভর, m₂ = 100 g = 0.1 kg

পানির আপেক্ষিক তাপ, s₂ = 1 kcal kg⁻¹ °C⁻¹

পানির আদি তাপমাত্রা = 10°C, শেষ তাপমাত্রা = 20°C

পেরেকের আদি তাপমাত্রা, θ = ?

ধরি, পেরেকের তাপমাত্রা θ°C।

তাপ আদান-প্রদানের নীতি অনুযায়ী,

পেরেকের বর্জিত তাপ = পানির গৃহীত তাপ

বা, m₁s₁(θ − 20) = m₂s₂(20 − 10)

বা, 0.01 × 0.11 × (θ − 20) = 0.1 × 1 × 10

বা, 0.0011(θ − 20) = 1

বা, θ − 20 = 909.09

∴ θ = 929.09°C

উত্তর: 929.09°C ≈ 929°C

(ক) R এর মান নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

ভোল্টমিটারের পাঠ, V_AB = 5 V

অ্যামিটারের পাঠ, I = 2 A

3Ω ও 5 V ব্যাটারিযুক্ত শাখার ব্যাটারির emf, ε = 5 V

A ও B বিন্দুর বিভব পার্থক্য 5 V এবং ব্যাটারির emf-ও 5 V, কিন্তু ব্যাটারিটি বিপরীতমুখী।

∴ ঐ শাখার ক্ষেত্রে প্রবাহ I₁ = V_AB − ε3

= 5 − 53 = 0

অর্থাৎ 3Ω শাখায় কোনো প্রবাহ নেই; পুরো 2 A প্রবাহ R দিয়ে যায়।

ওহমের সূত্র অনুযায়ী, R = V_ABI

= 52 Ω

∴ R = 2.5 Ω

(খ) E এর মান নির্ণয়:

মূল বর্তনীতে 10Ω, 2Ω ও R শ্রেণিতে আছে।

E = I(10 + 2 + R)

= 2 × (10 + 2 + 2.5)

= 2 × 14.5

∴ E = 29 V

উত্তর: (ক) R = 2.5 Ω; (খ) E = 29 V

লক্ষ করো: চিত্রে ব্যাটারির লম্বা দাগকে ধনাত্মক প্রান্ত ধরা হয়েছে। 5 V ব্যাটারি A–B এর বিভব পার্থক্যের বিপরীতে কাজ করায় 3Ω শাখায় প্রবাহ শূন্য।

দেওয়া আছে,

প্রবাহ, I = 1.5 A

চৌম্বক ক্ষেত্র, B = 0.1 T

মুক্ত ইলেকট্রন ঘনত্ব, n = 5.85 × 10²⁸ m⁻³

ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

প্রস্থচ্ছেদ 1 mm² বর্গাকার ধরলে বাহুর দৈর্ঘ্য 1 mm; তাই ক্ষেত্রের দিকে পুরুত্ব, t = 1 mm = 10⁻³ m

Hall ভোল্টেজ, V_H = ?

আমরা জানি,

V_H = BIn e t

= 0.1 × 1.55.85 × 10²⁸ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 10⁻³

= 0.159.36 × 10⁶

∴ V_H = 1.60 × 10⁻⁸ V

উত্তর: 1.60 × 10⁻⁸ V

লক্ষ করো: প্রশ্নে প্রস্থচ্ছেদের আকার দেওয়া নেই; 1 mm × 1 mm বর্গাকার ধরে সমাধান করা হয়েছে। ছাপায় ঘনত্ব “5.85 × 102²⁸” লেখা, এটি 5.85 × 10²⁸ ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

ভর, m = 1 g = 10⁻³ kg

পারমাণবিক ভর, M = 226 kg/kmol

অ্যাভোগাড্রো নম্বর, N_A = 6.02 × 10²⁶ atoms/kmol

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1620 y = 1620 × 365 × 86400 s = 5.11 × 10¹⁰ s

প্রতি সেকেন্ডে ক্ষয়, −dN/dt = ?

পরমাণুর সংখ্যা,

N = mM × N_A

= 10⁻³226 × 6.02 × 10²⁶

= 2.66 × 10²¹

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ln 2T_1/2

= 0.6935.11 × 10¹⁰ = 1.357 × 10⁻¹¹ s⁻¹

আমরা জানি, −dN/dt = λN

= 1.357 × 10⁻¹¹ × 2.66 × 10²¹

∴ −dN/dt = 3.61 × 10¹⁰ s⁻¹

উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে প্রায় 3.61 × 10¹⁰ টি পরমাণু

দেওয়া আছে,

পিতার নিজস্ব কাঠামোয় যাত্রাকাল, Δt₀ = 2 + 2 = 4 বছর

যাত্রার শুরুতে পিতা কন্যার চেয়ে 20 বছরের বড়, শেষে 20 বছরের ছোট।

মহাকাশযানের বেগ, v = ?

ধরি, পৃথিবীর কাঠামোয় যাত্রাকাল Δt বছর।

যাত্রার শুরুতে পিতার বয়স − কন্যার বয়স = 20

শেষে পিতার বয়স − কন্যার বয়স = −20

পিতার বয়স বাড়ে 4 বছর, কন্যার বয়স বাড়ে Δt বছর।

∴ 20 + 4 − Δt = −20

বা, Δt = 44 বছর

আমরা জানি, Δt = Δt₀1 − v²/c²

বা, 44 = 41 − v²/c²

বা, 1 − v²/c² = 1/11

বা, 1 − v²/c² = 1/121

বা, v²/c² = 120/121

∴ v = 0.9959c

= 0.9959 × 3 × 10⁸ m s⁻¹

= 2.988 × 10⁸ m s⁻¹

উত্তর: v ≈ 0.996c ≈ 2.99 × 10⁸ m s⁻¹

দেওয়া আছে,

শোষিত ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 140 nm

নিঃসৃত একটি ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ₁ = 180.5 nm

অপর ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ₂ = ?

শক্তির সংরক্ষণশীলতা অনুযায়ী,

শোষিত শক্তি = নিঃসৃত শক্তির সমষ্টি

বা, hcλ = hcλ₁ + hcλ₂

বা, 1λ₂ = 1λ − 1λ₁

= 1140 − 1180.5 nm⁻¹

= 180.5 − 140140 × 180.5 nm⁻¹

= 40.525270 nm⁻¹

∴ λ₂ = 623.95 nm ≈ 6.24 × 10⁻⁷ m

উত্তর: 624 nm (6.24 × 10⁻⁷ m)

দেওয়া আছে,

সাধারণ নিঃসারক বিন্যাসে প্রবাহ লাভ, β = I_C/I_B = 70

নিঃসার প্রবাহ, I_E = 8.8 mA

সংগ্রাহক প্রবাহ, I_C = ?; পীঠ প্রবাহ, I_B = ?; সাধারণ পীঠ প্রবাহ লাভ, α = ?

আমরা জানি, I_E = I_B + I_C

বা, I_E = I_B + 70I_B = 71I_B

বা, I_B = 8.871 mA

∴ I_B = 0.124 mA

I_C = 70I_B = 70 × 0.1239 mA

∴ I_C = 8.676 mA

সাধারণ পীঠ বিবর্ধকে প্রবাহ লাভ,

α = I_CI_E

= 8.6768.8 = β1 + β = 7071

∴ α = 0.986

উত্তর: I_C = 8.68 mA; I_B = 0.124 mA; α = 0.986

দেওয়া আছে,

উপরিতলে ঘনত্ব, ρ = 1.03 × 10³ kg m⁻³

চাপ বৃদ্ধি, ΔP = 800 atm = 800 × 1.013 × 10⁵ Pa = 8.104 × 10⁷ Pa

সংনম্যতা, k = 45.8 × 10⁻¹¹ Pa⁻¹

গভীরতায় ঘনত্ব, ρ′ = ?

আমরা জানি, k = ΔVV × ΔP

বা, ΔVV = kΔP

= 45.8 × 10⁻¹¹ × 8.104 × 10⁷

= 0.0371

নতুন আয়তন, V′ = V − ΔV = V(1 − 0.0371) = 0.9629V

ভর অপরিবর্তিত, তাই ρ′V′ = ρV

বা, ρ′ = ρ0.9629

= 1.03 × 10³0.9629

∴ ρ′ = 1.0697 × 10³ kg m⁻³

উত্তর: ρ′ ≈ 1.07 × 10³ kg m⁻³ (1069.7 kg m⁻³)

(ক) বিস্তার ও বেগ নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

স্থির তরঙ্গের সমীকরণ, y = 5 sin πx3 cos 40πt

আমরা জানি, স্থির তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ,

y = 2a sin kx cos ωt

তুলনা করে পাই,

2a = 5 cm

বা, a = 2.5 cm

k = π/3 cm⁻¹, ω = 40π rad s⁻¹

তরঙ্গের বেগ, v = ωk

= 40ππ/3

= 120 cm s⁻¹

(খ) নিস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়:

k = 2π/λ = π/3

বা, λ = 6 cm

পর পর দুটি নিস্পন্দ বিন্দুর দূরত্ব = λ/2

= 6/2 = 3 cm

উত্তর: (ক) বিস্তার 2.5 cm, বেগ 120 cm s⁻¹; (খ) 3 cm

লক্ষ করো: প্রশ্নে সমীকরণটি ছাপায় “π x/t” লেখা; এটি ছাপার ভুল ধরে π x/3 নেওয়া হয়েছে (PDF-এর সমাধানের সাথে সংগতি রেখে)।

দেওয়া আছে,

ছাদের উচ্চতার পার্থক্য, h = 4.8 m

দুই ভবনের মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব, d = 6.2 m

অনুভূমিক বেগ, u = 4.5 m s⁻¹

g = 9.8 m s⁻²

ধরি, নিচের ছাদের সমতলে নামতে সময় লাগে t।

উল্লম্ব দিকে, h = (1/2)gt²

বা, t = 2h/g

= 2 × 4.8 / 9.8

= 0.99 s

এই সময়ে অনুভূমিক সরণ, x = ut

= 4.5 × 0.99

= 4.45 m

এখানে x = 4.45 m < 6.2 m

∴ সে অপর ছাদে পৌঁছাতে পারবে না, 6.2 − 4.45 = 1.75 m আগেই পড়ে যাবে।

উত্তর: ঝাপ দিও না (অনুভূমিক সরণ 4.45 m, যা 6.2 m এর চেয়ে কম)

দেওয়া আছে,

বস্তু দূরত্ব, u = 90 cm

উত্তল লেন্স দিয়ে বাস্তব প্রতিবিম্ব দূরত্ব, v = 45 cm

অবতল লেন্স লাগানোর পর প্রতিবিম্ব আরও 75 cm দূরে, তাই v′ = 45 + 75 = 120 cm

অবতল লেন্সের ফোকাস দূরত্ব, f₂ = ?

উত্তল লেন্সের ফোকাস দূরত্ব f₁ হলে,

আমরা জানি, 1f₁ = 1u + 1v

= 190 + 145 = 390

∴ f₁ = 30 cm

লেন্স দুটি গা ঘেঁষে থাকলে সমতুল্য ফোকাস দূরত্ব F হলে,

আমরা জানি, 1F = 1u + 1v′

= 190 + 1120 = 7360

আবার, 1F = 1f₁ + 1f₂

বা, 1f₂ = 7360 − 130

= 7 − 12360 = −5360 = −172

∴ f₂ = −72 cm

উত্তর: 72 cm (অবতল লেন্স, f₂ = −72 cm)

দেওয়া আছে,

প্রথম বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ, নিবৃত্ত বিভব V₁ = 4.8 V

দ্বিতীয় বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য 2λ, নিবৃত্ত বিভব V₂ = 1.6 V

সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ₀ = ? (λ এর সাপেক্ষে)

আমরা জানি, আইনস্টাইনের আলোকতড়িৎ সমীকরণ,

hc/λ = φ₀ + eV₀

প্রথম ক্ষেত্রে, hcλ = φ₀ + 4.8e ...... (i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, hc2λ = φ₀ + 1.6e ...... (ii)

(i) − (ii) করে, hc2λ = 3.2e

বা, hcλ = 6.4e

(i) থেকে, φ₀ = 6.4e − 4.8e = 1.6e

আবার, φ₀ = hcλ₀

বা, hcλ₀ = 1.6e

∴ λ₀λ = hc/λhc/λ₀ = 6.4e1.6e = 4

∴ λ₀ = 4λ

উত্তর: λ₀ = 4λ (সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রথম তরঙ্গদৈর্ঘ্যের 4 গুণ)

দেওয়া আছে,

কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r = 0.5 Å = 0.5 × 10⁻¹⁰ m

বেগ, v = 2.2 × 10⁶ m s⁻¹

ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Wb A⁻¹ m⁻¹

কেন্দ্রে চৌম্বক ক্ষেত্র, B = ?

ইলেকট্রনের চলাচল একটি বৃত্তাকার প্রবাহের সমতুল্য।

পর্যায়কাল, T = 2πrv হলে প্রবাহ,

I = eT = ev2πr

বৃত্তাকার প্রবাহের কেন্দ্রে, B = μ₀I2r

= μ₀ev4πr²

= 10⁻⁷ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 2.2 × 10⁶(0.5 × 10⁻¹⁰)²

= 3.52 × 10⁻²⁰2.5 × 10⁻²¹

∴ B = 14.08 T

উত্তর: 14.08 T ≈ 14.1 T