বুয়েট ২০১৮ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

বলের আদিবেগ, v₀ = 25 m s⁻¹

নিক্ষেপ কোণ, α = 30°

খেলোয়াড় থেকে গোলরক্ষকের দূরত্ব, d = 80 m

গোলরক্ষকের বেগ, v = 10 m s⁻¹

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

বলের পাল্লা, R = ? ; উড্ডয়নকাল, T = ?

আমরা জানি,

R = v₀² sin 2αg

বা, R = (25)² × sin 60°9.8

বা, R = 625 × 0.8669.8

∴ R = 55.23 m

আবার, উড্ডয়নকাল,

T = 2v₀ sin αg

বা, T = 2 × 25 × sin 30°9.8

∴ T = 2.551 s

অর্থাৎ বলটি খেলোয়াড় থেকে 55.23 m দূরে ভূমিতে পড়বে।

গোলরক্ষককে বলের পতনবিন্দুতে পৌঁছাতে যেতে হবে,

s = d − R = 80 − 55.23

∴ s = 24.77 m

এজন্য প্রয়োজনীয় সময়,

t = sv = 24.7710

∴ t = 2.477 s

যেহেতু t = 2.477 s < T = 2.551 s,

সুতরাং বল ভূমিতে পড়ার (2.551 − 2.477) = 0.074 s আগেই গোলরক্ষক পতনবিন্দুতে পৌঁছে যাবেন।

অন্যভাবে, T সময়ে গোলরক্ষক যেতে পারেন

= vT = 10 × 2.551 = 25.51 m

যা প্রয়োজনীয় 24.77 m-এর চেয়ে বেশি।

উত্তর: হ্যাঁ, গোলরক্ষক বলটি ভূমিতে পড়ার আগেই ধরতে পারবেন (তাঁর লাগে 2.477 s, বলের উড্ডয়নকাল 2.551 s)।

দেওয়া আছে,

পাম্পের ক্ষমতা (প্রদত্ত), P_in = 5 kW = 5000 W

কর্মদক্ষতা, η = 90% = 0.9

উচ্চতা, h = 30 m

সময়, t = 1 min = 60 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m⁻³ (1 L পানির ভর 1 kg)

প্রতি মিনিটে তোলা পানির আয়তন, V = ?

আমরা জানি,

কার্যকর ক্ষমতা, P_out = ηP_in

বা, P_out = 0.9 × 5000 = 4500 W

আবার, P_out = mght

বা, m = P_out tgh

বা, m = 4500 × 609.8 × 30

বা, m = 270000294

∴ m = 918.37 kg

যেহেতু 1 kg পানির আয়তন 1 L,

∴ V = 918.37 L ≈ 918.4 L

উত্তর: প্রতি মিনিটে প্রায় 918.4 লিটার পানি তোলা যাবে।

দেওয়া আছে,

প্রথম বস্তুর ভর, m₁ = 2.0 kg

প্রথম বস্তুর আদিবেগ = u₁

দ্বিতীয় বস্তুর আদিবেগ, u₂ = 0

সংঘর্ষের পর প্রথম বস্তুর বেগ, v₁ = u₁4 (একই দিকে)

আঘাতপ্রাপ্ত বস্তুর ভর, m₂ = ?

আমরা জানি, একমাত্রিক স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে (u₂ = 0 হলে),

v₁ = m₁ − m₂m₁ + m₂ u₁

বা, u₁4 = 2 − m₂2 + m₂ u₁

বা, 2 + m₂ = 4(2 − m₂)

বা, 2 + m₂ = 8 − 4m₂

বা, 5m₂ = 6

∴ m₂ = 1.2 kg

যাচাই: v₂ = 2m₁m₁ + m₂ u₁ = 43.2 u₁ = 1.25u₁

ভরবেগ: 2u₁ = 2(0.25u₁) + 1.2(1.25u₁) = 2u₁ ✓

উত্তর: 1.2 kg

দেওয়া আছে,

প্রথম ইলেকট্রনের অবস্থান, y₁ = 10 m

ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

ইলেকট্রনের ভর, m_e = 9.1 × 10⁻³¹ kg

14πε₀ = 9 × 10⁹ N m² C⁻²

g = 9.8 m s⁻²

দুই ইলেকট্রনের মধ্যবর্তী দূরত্ব, a = ?

প্রথম ইলেকট্রনের উপর ওজন নিচের দিকে ক্রিয়া করে। দুটি ইলেকট্রন পরস্পরকে বিকর্ষণ করে, তাই উপরের দিকে বল পেতে দ্বিতীয় ইলেকট্রনটি প্রথমটির নিচে (y অক্ষ বরাবর) রাখতে হবে।

ভারসাম্যের শর্ত, F_e = m_eg

আমরা জানি,

14πε₀ e²a² = m_eg

বা, a² = e²4πε₀ m_eg

এখানে, লব = 9 × 10⁹ × (1.6 × 10⁻¹⁹)²

= 2.304 × 10⁻²⁸

হর = 9.1 × 10⁻³¹ × 9.8

= 8.918 × 10⁻³⁰

বা, a² = 2.304 × 10⁻²⁸8.918 × 10⁻³⁰

বা, a² = 25.84 m²

∴ a = 5.08 m

∴ দ্বিতীয় ইলেকট্রনের অবস্থান,

y₂ = y₁ − a = 10 − 5.08

∴ y₂ = 4.92 m

উত্তর: প্রথম ইলেকট্রনের 5.08 m নিচে, অর্থাৎ y অক্ষের y = 4.92 m বিন্দুতে।

দেওয়া আছে,

আদিবেগ, v₀ = 72 km h⁻¹

= 72 × 10003600 m s⁻¹ = 20 m s⁻¹

শেষবেগ, v = 0

মন্দন, a = 10 m s⁻² (অর্থাৎ ত্বরণ −10 m s⁻²)

বালকের দূরত্ব, d = 30 m

আরোহীসহ গাড়ির ভর, m = 1200 kg

থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = ?

প্রযুক্ত বল, F = ?

আমরা জানি,

v² = v₀² − 2as

বা, 0 = (20)² − 2 × 10 × s

বা, 20s = 400

∴ s = 20 m

∴ গাড়িটি বালকের সামনে থামবে

= d − s = 30 − 20 = 10 m দূরে

আবার, প্রযুক্ত বল,

F = ma

বা, F = 1200 × 10

∴ F = 1.2 × 10⁴ N

বলটি ব্রেকজনিত বাধাদানকারী বল, তাই এর দিক গাড়ির গতির বিপরীতে।

উত্তর: বালকের 10 m সামনে থামবে; প্রযুক্ত বল 1.2 × 10⁴ N (গতির বিপরীত দিকে)।

দেওয়া আছে,

বিভব পার্থক্য, V = 220 V

তড়িৎপ্রবাহ, I = 6.5 A

দৈনিক ব্যবহার, t = 8 h

এপ্রিল মাসের দিনসংখ্যা, n = 30

প্রতি kWh (ইউনিট)-এর মূল্য = 5 Tk

বিদ্যুৎ বিল = ?

আমরা জানি,

ক্ষমতা, P = VI

বা, P = 220 × 6.5 = 1430 W

∴ P = 1.43 kW

দৈনিক ব্যয়িত শক্তি,

W = Pt = 1.43 × 8

∴ W = 11.44 kWh

এপ্রিল মাসে (30 দিনে) মোট শক্তি,

W_মোট = 11.44 × 30 = 343.2 kWh

∴ বিদ্যুৎ বিল = 343.2 × 5

= 1716 Tk

উত্তর: 1716 টাকা

লক্ষ করো: এখানে "1 Ton" এয়ারকন্ডিশনারের শীতলীকরণ ক্ষমতা নির্দেশ করে; বিল হিসাবে লাগে বৈদ্যুতিক ক্ষমতা P = VI, তাই ঐ তথ্য হিসাবে ব্যবহার হয়নি।

দেওয়া আছে,

প্রতিটি খণ্ডের নিশ্চল ভর, m₀ = 1 kg

মূল বস্তুর সাপেক্ষে প্রতিটি খণ্ডের বেগ, v = 0.6c (বিপরীত দিকে)

মূল বস্তুর নিশ্চল ভর, M₀ = ?

মূল বস্তুটি স্থির ছিল, তাই বিস্ফোরণের আগে মোট শক্তি = M₀c²। দুই খণ্ড সমান ভরের ও সমান দ্রুতিতে বিপরীত দিকে যায়, ফলে ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে।

আমরা জানি, প্রতিটি খণ্ডের মোট শক্তি,

E = m₀c²1 − v²/c²

এখানে, 1 − (0.6)² = 0.64 = 0.8

শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী,

M₀c² = 2 × m₀c²0.8

বা, M₀ = 2 × 10.8

∴ M₀ = 2.5 kg

অর্থাৎ নিশ্চল ভর 2 kg থেকে 0.5 kg বেশি; এই বাড়তি ভরের সমতুল্য শক্তিই খণ্ড দুটির গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়েছে।

উত্তর: 2.5 kg

লক্ষ করো: এখানে "পরস্পর 0.6c বেগে দূরে সরে গেল" বলতে প্রতিটি খণ্ড মূল বস্তুর (স্থির কাঠামোর) সাপেক্ষে 0.6c বেগে বিপরীত দিকে যাচ্ছে ধরা হয়েছে (প্রচলিত পাঠ)। যদি একটি খণ্ডের সাপেক্ষে অন্যটির বেগ 0.6c ধরা হয়, তবে প্রতিটির বেগ c/3 এবং M₀ ≈ 2.12 kg হয়।

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্য, L₁ = L₂ = L

ব্যাসার্ধ, r₁ = 1.5 mm

r₂ = 3 mm

প্রযুক্ত বল, F₁ = F₂ = F

দৈর্ঘ্যবৃদ্ধি, l₁ = 3l₂

ইয়ং এর গুণাঙ্ক, Y₁ : Y₂ = ?

আমরা জানি,

Y = FLAl = FLπr² l

∴ Y₁Y₂ = r₂² l₂r₁² l₁

= (3)² × l₂(1.5)² × 3l₂

= 92.25 × 3 = 43

∴ Y₁ : Y₂ = 4 : 3

Y₁ > Y₂ হওয়ায় প্রথম তারের (3 mm ব্যাসের) ইয়ং এর গুণাঙ্ক বেশি, অর্থাৎ সমান পীড়নে বিকৃতি কম।

উত্তর: প্রথম তারটি (3 mm ব্যাসের) বেশি স্থিতিস্থাপক; Y₁ : Y₂ = 4 : 3

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 3.8 days

ক্ষয়ের পরিমাণ = 60%

অবশিষ্ট, N = 40% of N₀ = 0.4N₀

সময়, t = ?

আমরা জানি,

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ln 2T_1/2 = 0.69313.8

∴ λ = 0.1824 day⁻¹

আবার, N = N₀e^−λt

বা, N₀N = e^λt

বা, λt = ln N₀0.4N₀ = ln 2.5 = 0.9163

বা, t = 0.91630.1824

∴ t = 5.02 days

উত্তর: 5.02 days

দেওয়া আছে,

ক্ষেত্রফল, A = 0.05 m²

পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 0.0015 m

বিভব পার্থক্য, V = 50 V

ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² F m⁻¹

(a) ধারকত্ব নির্ণয়:

আমরা জানি, C = ε₀Ad

= 8.85 × 10⁻¹² × 0.050.0015

∴ C = 2.95 × 10⁻¹⁰ F

(b) সঞ্চিত শক্তি নির্ণয়:

W = (1/2)CV²

= (1/2) × 2.95 × 10⁻¹⁰ × 50²

∴ W = 3.69 × 10⁻⁷ J

(c) একক আয়তনের শক্তি নির্ণয়:

ধারকের আয়তন, Ad = 0.05 × 0.0015 = 7.5 × 10⁻⁵ m³

শক্তি ঘনত্ব = WAd = 3.69 × 10⁻⁷7.5 × 10⁻⁵

∴ শক্তি ঘনত্ব = 4.92 × 10⁻³ J m⁻³

উত্তর: (a) 2.95 × 10⁻¹⁰ F; (b) 3.69 × 10⁻⁷ J; (c) 4.92 × 10⁻³ J m⁻³

দেওয়া আছে,

আদি আয়তন, V₁ = 2 m³, তাপমাত্রা T₁

রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের পর V₂ = 4 m³, তাপমাত্রা T₂

সমোষ্ণ প্রসারণের পর V₃ = 10 m³ (তাপমাত্রা T₂)

রুদ্ধতাপীয় সংকোচনের পর V₄ = ?, তাপমাত্রা T₁

আমরা জানি, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় TV^γ−1 = ধ্রুবক

প্রথম ধাপে (1 → 2),

T₁V₁^γ−1 = T₂V₂^γ−1

বা, T₂T₁ = V₁^γ−1V₂^γ−1 = (1/2)^γ−1 ... (i)

দ্বিতীয় ধাপ সমোষ্ণ, তাই তাপমাত্রা T₂ ই থাকে।

তৃতীয় ধাপে (3 → 4),

T₂V₃^γ−1 = T₁V₄^γ−1

বা, T₂T₁ = V₄^γ−1V₃^γ−1 ... (ii)

(i) ও (ii) থেকে,

(V₄/V₃)^γ−1 = (1/2)^γ−1

বা, V₄V₃ = 12

বা, V₄ = 102

∴ V₄ = 5 m³

উত্তর: 5 m³

দেওয়া আছে,

প্রতি ফিশনে শক্তি, E = 200 MeV

= 200 × 10⁶ × 1.602 × 10⁻¹⁹ J

= 3.204 × 10⁻¹¹ J

দক্ষতা, η = 10% = 0.1

আউটপুট ক্ষমতা, P = 1000 MW = 10⁹ W

সময়, t = 10 বছর = 10 × 365 × 86400 s

= 3.1536 × 10⁸ s

অ্যাভোগাড্রো ধ্রুবক, N_A = 6.023 × 10²³ mol⁻¹

²³⁵U এর মোলার ভর = 235 g mol⁻¹

আমরা জানি,

আউটপুট শক্তি, W_out = Pt

= 10⁹ × 3.1536 × 10⁸

= 3.1536 × 10¹⁷ J

ইনপুট শক্তি, W_in = W_outη

= 3.1536 × 10¹⁷0.1

= 3.1536 × 10¹⁸ J

ফিশনের সংখ্যা, N = W_inE

= 3.1536 × 10¹⁸3.204 × 10⁻¹¹

= 9.843 × 10²⁸

মোল সংখ্যা = NN_A

= 9.843 × 10²⁸6.023 × 10²³

= 1.634 × 10⁵ mol

∴ ভর = 1.634 × 10⁵ × 235 g

= 3.84 × 10⁷ g

উত্তর: প্রায় 3.84 × 10⁴ kg (1.634 × 10⁵ mol) ²³⁵U

লক্ষ করো: "ক্ষমতা 1000 MW" কে চুল্লির আউটপুট ধরা হয়েছে। যদি 1000 MW এর 10% (100 MW) কে আউটপুট ধরা হয়, তবে ফল হবে 1634 mol ≈ 384 kg।

দেওয়া আছে,

ধারকত্ব, C = 4 μF = 4 × 10⁻⁶ F

বর্তনী সাম্যাবস্থায় (ডিসি), তাই ধারকের ভিতর দিয়ে কোনো প্রবাহ নেই।

আমরা জানি,

কির্শফের প্রথম সূত্র অনুযায়ী,

সংযোগ বিন্দু A-তে কির্শফের প্রথম সূত্র প্রয়োগ করে,

প্রবাহ ঢুকছে = 3 A + 2 A = 5 A

ধারকে প্রবাহ নেই, তাই 5 Ω ও 1 Ω এ I = 5 A

সংযোগ বিন্দু B-তে কির্শফের প্রথম সূত্র প্রয়োগ করে,

প্রবাহ ঢুকছে = 1 A (নিচ থেকে)

প্রবাহ বেরোচ্ছে = 2 A (বাম শাখায়)

তাই ডানের 3 Ω এ D থেকে B এর দিকে,

I = 2 − 1 = 1 A

(সংযোগ বিন্দু D-তে: 5 A আসছে, 1 A B-তে যায়, বাকি 4 A, 4 Ω এ যায়।)

ধারকের দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য:

ওহমের সূত্র অনুযায়ী A থেকে D পর্যন্ত (5 Ω ও 1 Ω শ্রেণিতে),

V_AD = (5 + 1) × 5 = 30 V

V_DB = 3 × 1 = 3 V

∴ V_AB = V_AD + V_DB = 33 V

সঞ্চিত শক্তি:

E = (1/2)CV²

= (1/2) × 4 × 10⁻⁶ × 33²

∴ E = 2.178 × 10⁻³ J

উত্তর: 2.178 × 10⁻³ J

দেওয়া আছে,

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 3000 Å = 3 × 10⁻⁷ m

কার্যাপেক্ষক, φ = 2.28 eV

= 2.28 × 1.6 × 10⁻¹⁹ J

= 3.648 × 10⁻¹⁹ J

h = 6.62 × 10⁻³⁴ J s

c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

m = 9.1 × 10⁻³¹ kg

ইলেকট্রনের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

hcλ = φ + (1/2)mv²

বা, (1/2)mv² = hcλ − φ

= 6.62 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸3 × 10⁻⁷ − 3.648 × 10⁻¹⁹

= 6.62 × 10⁻¹⁹ − 3.648 × 10⁻¹⁹

= 2.972 × 10⁻¹⁹ J

বা, v² = 2 × 2.972 × 10⁻¹⁹9.1 × 10⁻³¹

= 6.532 × 10¹¹

∴ v = 8.08 × 10⁵ m s⁻¹

উত্তর: 8.08 × 10⁵ m s⁻¹

দেওয়া আছে,

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 5100 Å = 5.1 × 10⁻⁷ m

এক-চিড় থেকে পর্দার দূরত্ব = 205 cm

এক-চিড় থেকে দ্বি-চিড়ের দূরত্ব = 5 cm

10 টি ডোরার ব্যবধান = 2 cm

দ্বি-চিড়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, d = ?

দ্বি-চিড় থেকে পর্দার দূরত্ব,

D = 205 − 5 = 200 cm = 2 m

ডোরার প্রস্থ, Δx = 2 cm10 = 0.2 cm

= 2 × 10⁻³ m

আমরা জানি,

Δx = λDd

বা, d = λDΔx

= 5.1 × 10⁻⁷ × 22 × 10⁻³

∴ d = 5.1 × 10⁻⁴ m

উত্তর: 5.1 × 10⁻⁴ m (0.51 mm)

লক্ষ করো: "10 টি ডোরার ব্যবধান" অর্থ 10 টি ডোরা-প্রস্থ ধরা হয়েছে (প্রতি ডোরার প্রস্থ 0.2 cm)।

দেওয়া আছে,

ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10⁻³¹ kg

কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r = 0.53 × 10⁻¹⁰ m

প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s

কৌণিক বেগ, ω = ?

আমরা জানি,

বোর এর কোয়ান্টাম শর্ত অনুযায়ী,

mvr = nh2π

বা, mωr² = nh2π [∵ v = ωr]

বা, ω = nh2πmr²

n = 1 হলে, ω = 6.63 × 10⁻³⁴2π × 9.1 × 10⁻³¹ × (0.53 × 10⁻¹⁰)²

= 6.63 × 10⁻³⁴1.606 × 10⁻⁵⁰

∴ ω = 4.13 × 10¹⁶ rad s⁻¹

উত্তর: 4.13 × 10¹⁶ rad s⁻¹

লক্ষ করো: r = 0.53 × 10⁻¹⁰ m হাইড্রোজেনের প্রথম বোর কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, তাই n = 1 ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

দোলনকাল, T = 1.00 × 10⁻⁵ s

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = 1.00 × 10³ m s⁻¹

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

সর্বোচ্চ সরণ (বিস্তার), A = ?

(a) কৌণিক কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি, ω = 2πT

= 2π1.00 × 10⁻⁵

∴ ω = 6.28 × 10⁵ rad s⁻¹

(b) সর্বোচ্চ সরণ নির্ণয়:

আমরা জানি, v_max = ωA

বা, A = v_maxω

= 1.00 × 10³6.28 × 10⁵

∴ A = 1.59 × 10⁻³ m

উত্তর: (a) 6.28 × 10⁵ rad s⁻¹; (b) 1.59 × 10⁻³ m

লক্ষ করো: কণার ভর (1.00 × 10⁻²⁰ kg) এই দুটি রাশি নির্ণয়ে লাগেনি।

দেওয়া আছে,

বিভব পার্থক্য, V = 600 V

প্লেটদ্বয়ের দূরত্ব, d = 3 mm = 3 × 10⁻³ m

ইলেকট্রনের বেগ, v = 2 × 10⁶ m s⁻¹

চৌম্বকক্ষেত্র, B = ?

আমরা জানি,

প্লেটদ্বয়ের মধ্যে তড়িৎক্ষেত্র, E = Vd

= 6003 × 10⁻³

= 2 × 10⁵ V m⁻¹

ইলেকট্রন সোজা পথে চলে, অর্থাৎ বলদ্বয় পরস্পর সমান ও বিপরীত।

F_e = F_m

বা, eE = evB

বা, B = Ev

= 2 × 10⁵2 × 10⁶

∴ B = 0.1 T

দিক নির্ণয়:

ধরা যাক, বাম প্লেট ধনাত্মক ও ডান প্লেট ঋণাত্মক, আর ইলেকট্রন নিচের দিকে চলছে।

তড়িৎক্ষেত্র ডান দিকে, তাই ইলেকট্রনের উপর তড়িৎ বল বাম দিকে।

চৌম্বক বল ডান দিকে হতে হবে।

F = −e(v × B) অনুযায়ী এর জন্য

B পাতার তলের বাইরের দিকে হবে।

উত্তর: B = 0.1 T; দিক হবে এমন, যেন চৌম্বক বল তড়িৎ বলের বিপরীতে কাজ করে। চিত্রের অবস্থানে (বাম প্লেট +, ইলেকট্রন নিচমুখী) B পাতার তলের বাইরের দিকে।

লক্ষ করো: প্রশ্নে প্লেটের পোলারিটি ও ইলেকট্রনের গতির দিক দেওয়া নেই; সাধারণ নিয়ম: B ও v উভয়ের সাথে লম্ব এবং চৌম্বক বল তড়িৎ বলের বিপরীতমুখী। প্লেট উল্টো হলে বা ইলেকট্রন উপরে চললে B এর দিক বিপরীত হবে।

দেওয়া আছে,

আপতন কোণ = i (অভিলম্ব থেকে)

স্ল্যাব দুটির পুরুত্ব l₁, l₂ এবং প্রতিসরাঙ্ক μ₁, μ₂

বাইরের মাধ্যম = বায়ু

পার্শ্বীয় সরণ, x = ?

আমরা জানি,

প্রথম স্ল্যাবে প্রতিসরণ কোণ r₁ হলে,

sin i = μ₁ sin r₁

বা, r₁ = sin⁻¹(sin iμ₁)

সীমাতলে, μ₁ sin r₁ = μ₂ sin r₂

বা, sin i = μ₂ sin r₂

বা, r₂ = sin⁻¹(sin iμ₂)

শেষ তলে বায়ুতে বেরোনোর সময় কোণ আবার i হয়, তাই নির্গত রশ্মি আপতিত রশ্মির সমান্তরাল।

পুরুত্ব l এবং প্রতিসরণ কোণ r এর একটি স্তরে রশ্মির পথ = lcos r

এই পথের জন্য আদি দিকের সাপেক্ষে লম্ব সরণ = lcos r sin(i − r)

∴ x₁ = l₁ sin(i − r₁)cos r₁

এবং x₂ = l₂ sin(i − r₂)cos r₂

∴ x = x₁ + x₂

= l₁ sin(i − r₁)cos r₁ + l₂ sin(i − r₂)cos r₂

যেখানে r₁ = sin⁻¹(sin iμ₁), r₂ = sin⁻¹(sin iμ₂)

আবার, sin(i − r)/cos r = sin i − cos i tan r

এবং tan r = sin iμ² − sin²i

∴ x = l₁ sin i [1 − cos iμ₁² − sin²i]

+ l₂ sin i [1 − cos iμ₂² − sin²i]

উত্তর: x = l₁ sin(i − r₁)cos r₁ + l₂ sin(i − r₂)cos r₂, যেখানে sin r₁ = sin iμ₁, sin r₂ = sin iμ₂

লক্ষ করো: বাইরের মাধ্যম বায়ু এবং μ₁, μ₂ > 1 ধরা হয়েছে; তখন রশ্মি অভিলম্বের দিকে বেঁকে যায় এবং দুই স্ল্যাবের সরণ একই দিকে যোগ হয়। চিত্রে x হলো নির্গত রশ্মি ও আপতিত রশ্মির সম্প্রসারিত রেখার মধ্যে লম্ব দূরত্ব।

দেওয়া আছে,

y = 5 sin(πx3) cos 40πt

এটি একটি স্থির তরঙ্গ, যা বিপরীতমুখী দুটি সমান তরঙ্গ

y₁ = a sin(ωt − kx) ও y₂ = a sin(ωt + kx) এর যোগফল,

অর্থাৎ y = 2a sin kx cos ωt

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে,

2a = 5

বা, a = 2.5 cm

k = 2πλ = π3

বা, λ = 6 cm

ω = 2πf = 40π

বা, f = 20 Hz

তরঙ্গের বেগ, v = fλ

= 20 × 6

∴ v = 120 cm s⁻¹

উত্তর: বিস্তার 2.5 cm; বেগ 120 cm s⁻¹ (= 1.2 m s⁻¹)