ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি · লিখিত
দেওয়া আছে,
ধরি, বস্তুর ভর = m এবং ফেলার উচ্চতা = H
ভূমি থেকে h = 10 m উচ্চতায় গতিশক্তি, K = 2U (U = স্থিতিশক্তি)
H = ?
আমরা জানি,
10 m উচ্চতায় স্থিতিশক্তি, U = mgh = mg × 10
শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী,
মোট শক্তি = mgH = K + U
বা, mgH = 2U + U = 3U
বা, mgH = 3 × mg × 10
বা, H = 30
∴ H = 30 m
উত্তর: 30 m
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক কম্পাংক = 1500 rpm = 25 rps
প্রাথমিক কৌণিক বেগ, ω0 = 2π × 25 = 157.08 rad s−1
শেষ কৌণিক বেগ, ω = 0
সময়, t = 4 min = 240 s
কৌণিক ত্বরণ, α = ?
থামার আগে ঘূর্ণন সংখ্যা, N = ?
আমরা জানি,
ω = ω0 + αt
বা, 0 = 157.08 + α × 240
বা, α = −157.08240
∴ α = −0.655 rad s−2
আবার, θ = ω0t + (1/2)αt2
বা, θ = 157.08 × 240 + (1/2)(−0.6545)(240)2
বা, θ = 37699 − 18850
∴ θ = 18850 rad
ঘূর্ণন সংখ্যা, N = θ2π = 188506.283
∴ N = 3000
উত্তর: কৌণিক ত্বরণ −0.655 rad s−2 (মন্দন 0.655 rad s−2); থামার আগে 3000 বার ঘুরবে
দেওয়া আছে,
পুকুরের গভীরতা, h = 10 m
দৈর্ঘ্য = 10 m, প্রস্থ = 5 m
সময়, t = 30 min = 1800 s
g = 980 cm s−2 = 9.8 m s−2
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3
1 hp = 746 W
ক্ষমতা, P = ? (hp)
পানির আয়তন, V = 10 × 10 × 5 = 500 m3
পানির ভর, m = ρV = 1000 × 500 = 5 × 105 kg
পানির ভরকেন্দ্র তলদেশ থেকে (h/2) = 5 m উপরে, তাই ভূপৃষ্ঠে তুলতে গড় উত্তোলন-উচ্চতা, h′ = 5 m
আমরা জানি,
কাজ, W = mgh′
বা, W = 5 × 105 × 9.8 × 5
বা, W = 2.45 × 107 J
ক্ষমতা, P = Wt
বা, P = 2.45 × 1071800
বা, P = 13611 W
বা, P = 13611746 hp
∴ P = 18.2 hp
উত্তর: 18.2 hp
লক্ষ করো: পুকুর ভূপৃষ্ঠ পর্যন্ত পানিতে পূর্ণ, পাম্প ভূপৃষ্ঠে বসানো এবং পানি ভূপৃষ্ঠ পর্যন্ত তোলা হবে ধরে নেওয়া হয়েছে; পাম্পের দক্ষতা 100% ধরা হয়েছে। প্রশ্নে g-এর একক cm s−2 হওয়া উচিত।
দেওয়া আছে,
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km
উপগ্রহের উচ্চতা, h = 2600 km
পৃথিবীর ভর, M = 6 × 1024 kg
G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r = R + h = 9000 km = 9 × 106 m
বেগ, v = ?
আমরা জানি,
মহাকর্ষ বল = কেন্দ্রমুখী বল
বা, GMmr2 = mv2r
বা, v = GM/r
বা, v = 6.67 × 10−11 × 6 × 1024 / (9 × 106)
বা, v = 4.447 × 107
বা, v = 6668 m s−1
বা, v = 6668 × 3.6 km h−1
∴ v = 24006 km h−1
উত্তর: ≈ 2.4 × 104 km h−1
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক ব্যাসার্ধ, r1 = 1 cm = 0.01 m
শেষ ব্যাসার্ধ, r2 = 10 cm = 0.1 m
পৃষ্ঠটান, T = 2.6 × 10−2 N m−1
কাজ, W = ?
আমরা জানি,
সাবানের বুদবুদের দুটি মুক্ত তল (ভিতরে ও বাইরে) থাকে।
তলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি, ΔA = 2 × 4π(r22 − r12)
বা, ΔA = 8π(0.01 − 0.0001)
বা, ΔA = 8π × 0.0099
বা, ΔA = 0.2488 m2
কাজ, W = T × ΔA
বা, W = 2.6 × 10−2 × 0.2488
∴ W = 6.47 × 10−3 J
উত্তর: 6.47 × 10−3 J
দেওয়া আছে,
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T = 2 s
দৈর্ঘ্য, L = ?
নতুন g′ = g − 10% of g = 0.9g
আমরা জানি,
T = 2πL/g
বা, L = gT24π2
বা, L = 9.8 × 439.478
∴ L = 0.993 m
দোলনকাল T অপরিবর্তিত থাকলে L ∝ g
বা, L′L = g′g = 0.9
বা, L′ = 0.9 × 0.993
বা, L′ = 0.894 m
দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, L − L′ = 0.993 − 0.894
∴ L − L′ = 0.099 m
উত্তর: সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য 0.993 m; দৈর্ঘ্য 10% (≈ 0.099 m) কমাতে হবে
তীব্রতার গাণিতিক সংজ্ঞা:
তরঙ্গ সঞ্চালনের দিকের লম্ব বরাবর একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে যে শক্তি প্রবাহিত হয় তাকে তীব্রতা বলে।
বা, তীব্রতা, I = EA t = PA
এখানে E = শক্তি, A = ক্ষেত্রফল, t = সময়, P = ক্ষমতা। একক W m−2।
তীব্রতা লেভেলের পরিবর্তন নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
নতুন তীব্রতা, I′ = 3I
তীব্রতা লেভেলের পরিবর্তন, Δβ = ?
আমরা জানি,
তীব্রতা লেভেল, β = 10 log II0 dB
তাই, Δβ = 10 log I′I0 − 10 log II0
বা, Δβ = 10 log I′I
বা, Δβ = 10 log 3
বা, Δβ = 10 × 0.4771
∴ Δβ = 4.77 dB
উত্তর: তীব্রতা I = E/(At); লেভেল বাড়বে 4.77 dB
দেওয়া আছে,
প্রমাণ তাপমাত্রা, T0 = 0°C = 273 K
শর্ত: vrms (T তাপমাত্রায়) = (1/2) × vrms (T0 তাপমাত্রায়)
তাপমাত্রা, T = ?
আমরা জানি,
vrms = 3RT/M অর্থাৎ vrms ∝ T
বা, vTv0 = T/T0
বা, 12 = T/273
বা, 14 = T273
বা, T = 2734
বা, T = 68.25 K
সেলসিয়াসে, t = 68.25 − 273
∴ t = −204.75°C
উত্তর: −204.75°C (≈ 68.25 K)
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক তাপমাত্রা, T1 = 273 + 40 = 313 K
প্রাথমিক চাপ, P1 = 76 cm Hg
আয়তন, V2 = 2V1
γ = 1.4
রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার পর তাপমাত্রা, T2 = ?
পরে 20°C বৃদ্ধির পর চাপ, P3 = ?
প্রথম অংশ:
রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায়, T1V1γ−1 = T2V2γ−1
বা, T2 = T1(V1/V2)0.4
বা, T2 = 313 × (1/2)0.4
বা, T2 = 313 × 0.7579
∴ T2 = 237.2 K = −35.8°C
দ্বিতীয় অংশ:
রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার পর চাপ, P2V2γ = P1V1γ
বা, P2 = 76 × (1/2)1.4
বা, P2 = 76 × 0.3789
বা, P2 = 28.8 cm Hg
এরপর আয়তন স্থির রেখে তাপমাত্রা বাড়ালে, T3 = 237.2 + 20 = 257.2 K
আমরা জানি, স্থির আয়তনে P3T3 = P2T2
বা, P3 = 28.8 × 257.2237.2
∴ P3 = 31.2 cm Hg
উত্তর: রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার পর তাপমাত্রা 237.2 K (−35.8°C); 20°C বৃদ্ধির পর চাপ ≈ 31.2 cm Hg
লক্ষ করো: দ্বিতীয় অংশে তাপমাত্রা বৃদ্ধি স্থির আয়তনে (আয়তন V2 অপরিবর্তিত) হয়েছে ধরে নেওয়া হয়েছে, কারণ প্রশ্নে প্রক্রিয়ার ধরন উল্লেখ নেই।
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 20 cm = 0.2 m
আধান, Q = 3 μC = 3 × 10−6 C
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1m−2
অর্থাৎ 14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2 (প্রায়)
পৃষ্ঠে প্রাবল্য, E1 = ?
কেন্দ্র থেকে r = 30 cm = 0.3 m দূরে প্রাবল্য, E2 = ?
আমরা জানি,
পরিবাহী গোলকের পৃষ্ঠে ও বাইরে বিন্দুতে সমস্ত আধান কেন্দ্রে আছে ধরে প্রাবল্য, E = Q4πε0r2
(ক) পৃষ্ঠে (r = R = 0.2 m):
E1 = 9 × 109 × 3 × 10−6(0.2)2
বা, E1 = 2.7 × 1040.04
∴ E1 = 6.75 × 105 N C−1
(খ) কেন্দ্র থেকে 30 cm দূরে (r = 0.3 m):
E2 = 9 × 109 × 3 × 10−6(0.3)2
বা, E2 = 2.7 × 1040.09
∴ E2 = 3 × 105 N C−1
উত্তর: (ক) পৃষ্ঠে 6.75 × 105 N C−1; (খ) 30 cm দূরে 3 × 105 N C−1
দেওয়া আছে,
লেন্সের ক্ষমতা, P = 4 D
প্রতিবিম্বের আকার = বস্তুর আকারের অর্ধেক
বস্তুর দূরত্ব, u = ?
আমরা জানি,
ফোকাস দূরত্ব, f = 1P
= 14 m = 0.25 m = 25 cm
ক্ষমতা ধনাত্মক, তাই লেন্সটি উত্তল। উত্তল লেন্সে প্রতিবিম্ব ছোট হয় কেবল বাস্তব ও উল্টো প্রতিবিম্বের ক্ষেত্রে।
বিবর্ধন, m = vu = 12
∴ v = u2
আবার, 1f = 1u + 1v
বা, 1f = 1u + 2u = 3u
∴ u = 3f = 3 × 25 cm = 75 cm
উত্তর: বস্তুকে লেন্স থেকে 75 cm দূরে রাখতে হবে
দেওয়া আছে,
গ্রেটিং ধ্রুবক, d = 16000 cm = 1.667 × 10−6 m
ক্রম, n = 2
λ1 = 5890 Å = 5.890 × 10−7 m
λ2 = 5896 Å = 5.896 × 10−7 m
কৌণিক দূরত্ব, Δθ = ?
আমরা জানি,
d sin θ = nλ
বা, sin θ = nλd
প্রথম তরঙ্গের জন্য,
sin θ1 = 2 × 5.890 × 10−71.667 × 10−6 = 0.7068
∴ θ1 = 44.975°
দ্বিতীয় তরঙ্গের জন্য,
sin θ2 = 2 × 5.896 × 10−71.667 × 10−6 = 0.7075
∴ θ2 = 45.033°
Δθ = θ2 − θ1
= 45.033° − 44.975°
= 0.0583°
উত্তর: 0.0583° (প্রায় 3.5′)
দেওয়া আছে,
i = 30 sin(107t + π2)
তুলনা করে পাই, শীর্ষ মান, I0 = 30 A
কৌণিক কম্পাংক, ω = 107 rad s−1
আমরা জানি,
(ক) কম্পাংক নির্ণয়:
ω = 2πf
বা, f = ω2π
= 1072 × 3.1416 Hz
= 17.03 Hz
(খ) বর্গমূলীয় গড়মান নির্ণয়:
Irms = I02
= 301.414 A
= 21.2 A
(গ) t = 0 সময়ে প্রবাহ নির্ণয়:
i = 30 sin(0 + π2)
= 30 × sin 90°
= 30 × 1 = 30 A
উত্তর: (ক) কম্পাংক = 17.0 Hz; (খ) বর্গমূলীয় গড়মান = 21.2 A; (গ) t = 0 সময়ে প্রবাহ = 30 A
লক্ষ করো: সমীকরণে ছাপা 107t অনুযায়ী ω = 107 rad s−1 ধরা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
ইলেকট্রনের স্থির ভর, me = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্লাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ফোটনের শক্তি, E = mec2
কম্পাংক f, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য λ ও ভরবেগ p = ?
আমরা জানি,
E = mec2 = 9.1 × 10−31 × (3 × 108)2
= 8.19 × 10−14 J
(ক) কম্পাংক নির্ণয়:
E = hf
বা, f = Eh
= 8.19 × 10−146.63 × 10−34 Hz
= 1.235 × 1020 Hz
(খ) তরঙ্গ দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
λ = cf
= 3 × 1081.235 × 1020 m
= 2.43 × 10−12 m
(গ) ভরবেগ নির্ণয়:
p = hλ = Ec
= 8.19 × 10−143 × 108 kg m s−1
= 2.73 × 10−22 kg m s−1
উত্তর: (ক) কম্পাংক = 1.235 × 1020 Hz; (খ) তরঙ্গ দৈর্ঘ্য = 2.43 × 10−12 m; (গ) ভরবেগ = 2.73 × 10−22 kg m s−1
দেওয়া আছে,
মহাকাশযানের বেগ, v = 0.98c
পৃথিবীর ঘড়িতে ভ্রমণকাল, Δt = 30 বছর
যাত্রার সময় মায়ের বয়স = 30 বছর, কন্যার বয়স = 10 বছর
মহাকাশযানের ঘড়িতে ভ্রমণকাল, Δt0 = ?
আমরা জানি,
Δt = Δt01 − v2/c2
বা, Δt0 = Δt 1 − v2/c2
= 30 × 1 − (0.98)2
= 30 × 0.0396
= 30 × 0.199
= 5.97 বছর
∴ ফেরার পর মায়ের বয়স = 30 + 5.97
= 35.97 বছর ≈ 36 বছর
কন্যার বয়স = 10 + 30 = 40 বছর
উত্তর: মায়ের বয়স প্রায় 36 বছর, কন্যার বয়স 40 বছর (কন্যা মায়ের চেয়ে বড় হবে)
লক্ষ করো: "পৃথিবীর হিসেবে 30 বছর" মানে পৃথিবীর ঘড়িতে 30 বছর ধরে নেওয়া হয়েছে।
পরীক্ষা ও প্র্যাকটিস
ভর্তি পরীক্ষা
লিখিত ও সমাধান
শেখা ও রেফারেন্স
প্রিমিয়াম