বুয়েট ২০১৪ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

m₁ = 4 একক, স্থানাঙ্ক (4, 0, −1)

m₂ = 5 একক, স্থানাঙ্ক (3, 2, 3)

m₃ = 6 একক, স্থানাঙ্ক (2, 1, 4)

z অক্ষের সাপেক্ষে I = ? এবং K = ?

আমরা জানি, z অক্ষ থেকে কণার লম্ব দূরত্ব² = x² + y²

এবং I = m(x² + y²), K = I/m

জড়তার ভ্রামক:

4 একক ভরের, I₁ = 4 × (4² + 0²) = 64

5 একক ভরের, I₂ = 5 × (3² + 2²) = 65

6 একক ভরের, I₃ = 6 × (2² + 1²) = 30

চক্রগতির ব্যাসার্ধ:

K₁ = 64/4 = 4

K₂ = 65/5 = 13 = 3.61

K₃ = 30/6 = 5 = 2.24

উত্তর: I₁ = 64, I₂ = 65, I₃ = 30 (একক ভর × একক দূরত্ব²); K₁ = 4, K₂ = 13 ≈ 3.61, K₃ = 5 ≈ 2.24 একক

লক্ষ করো: প্রশ্নের "তাদের" শব্দটি প্রতিটি কণার আলাদা মান ধরে সমাধান করা হয়েছে। তিনটি কণা একত্রে ধরলে I = 159 এবং K = 159/15 ≈ 3.26 একক।

দেওয়া আছে,

তারের দৈর্ঘ্য, L = 5 m

ব্যাস = 1 mm

ঝুলানো ভর, m = 25 kg

প্রসারণ, l = 0.1 mm = 10⁻⁴ m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

সঞ্চিত শক্তি, U = ?

প্রযুক্ত বল, F = mg = 25 × 9.8 = 245 N

আমরা জানি,

সঞ্চিত শক্তি, U = (1/2) × F × l

বা, U = 0.5 × 245 × 10⁻⁴

∴ U = 0.01225 J = 1.225 × 10⁻² J

উত্তর: 1.225 × 10⁻² J

দেওয়া আছে,

বলের ভর, m = 1.34 × 10⁻⁴ kg

বলের ব্যাস = 4.4 × 10⁻³ m

∴ ব্যাসার্ধ, r = 2.2 × 10⁻³ m

তেলের ঘনত্ব, σ = 0.943 × 10³ kg m⁻³

সুষম বেগ, v = 0.3816.4 = 0.0595 m s⁻¹

g = 9.8 m s⁻²

সান্দ্রতা গুণাংক, η = ?

বলের আয়তন, V = (4/3)πr³ = 4.46 × 10⁻⁸ m³

বলের ঘনত্ব, ρ = mV = 1.34 × 10⁻⁴4.46 × 10⁻⁸ = 3004 kg m⁻³

আমরা জানি, প্রান্তিক বেগের ক্ষেত্রে,

v = 2r²(ρ − σ)g9η

বা, η = 2r²(ρ − σ)g9v

বা, η = 2 × (2.2 × 10⁻³)² × (3004 − 943) × 9.89 × 0.0595

বা, η = 0.19550.5358

∴ η = 0.365 N s m⁻²

উত্তর: 0.365 N s m⁻²

দেওয়া আছে,

অণুর ব্যাস, d = 2 Å = 2 × 10⁻¹⁰ m

চাপ, P₂ = 10⁻⁶ mm পারদ

STP তে চাপ, P₁ = 760 mm পারদ

STP তে 1 গ্রাম-অণুর আয়তন, V₁ = 22.4 L = 22.4 × 10⁻³ m³

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N_A = 6.02 × 10²³

তাপমাত্রা অপরিবর্তিত (273 K)

গড় মুক্তপথ, λ = ?

আমরা জানি, তাপমাত্রা স্থির থাকলে,

P₁V₁ = P₂V₂

বা, V₂ = P₁V₁P₂

বা, V₂ = 760 × 22.4 × 10⁻³10⁻⁶

= 1.7024 × 10⁷ m³

একক আয়তনে অণুর সংখ্যা,

n = N_AV₂ = 6.02 × 10²³1.7024 × 10⁷

= 3.536 × 10¹⁶ m⁻³

আমরা জানি,

λ = 12πd²n

বা, λ = 11.414 × 3.1416 × (2 × 10⁻¹⁰)² × 3.536 × 10¹⁶

বা, λ = 16.283 × 10⁻³

∴ λ = 159 m

উত্তর: 159 m (প্রায়)

লক্ষ করো: "এক গ্রাম" বলতে এক গ্রাম-অণু (1 mol) ধরা হয়েছে, কারণ STP তে 22.4 L আয়তন 1 mol গ্যাসের।

দেওয়া আছে,

ছোট ফোঁটার সংখ্যা, n = 8

প্রতিটি ছোট ফোঁটার বিভব, V = 220 V

বড় ফোঁটার বিভব, V′ = ?

ধরি, ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ r, চার্জ q এবং বড় ফোঁটার ব্যাসার্ধ R, চার্জ Q।

আয়তন অপরিবর্তিত থাকায়,

(4/3)πR³ = 8 × (4/3)πr³

বা, R³ = 8r³

বা, R = 2r

চার্জ সংরক্ষণ নীতি অনুযায়ী, Q = 8q

আমরা জানি, V = 14πε₀ × qr

∴ V′V = Qq × rR = 8 × 12 = 4

বা, V′ = 4V = 4 × 220

∴ V′ = 880 V

উত্তর: 880 V

দেওয়া আছে,

ক্ষমতা, P = 100 W

ভোল্টেজ, V = 220 V

ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

সময়, t = 1 s

ইলেকট্রনের সংখ্যা, n = ?

আমরা জানি, P = VI

বা, I = PV = 100220 = 0.4545 A

আবার, I = qt = net

বা, n = Ite

বা, n = 0.4545 × 11.6 × 10⁻¹⁹

∴ n = 2.84 × 10¹⁸

উত্তর: 2.84 × 10¹⁸ টি

দেওয়া আছে,

আয়তন, V = 4.0 × 10⁻⁵ m³ = 40 cm³

ঘনত্ব, ρ = 9.0 g cm⁻³

মোলার ভর = 60 g mol⁻¹

যোজ্যতা = 2

N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

পরিবহন ইলেকট্রনের সংখ্যা = ?

নমুনার ভর, m = ρV = 9.0 × 40 = 360 g

মোল সংখ্যা = 36060 = 6 mol

পরমাণুর সংখ্যা = 6 × 6.02 × 10²³ = 3.612 × 10²⁴

দ্বিযোজী ধাতুতে প্রতি পরমাণু 2টি মুক্ত ইলেকট্রন দেয়।

∴ ইলেকট্রনের সংখ্যা = 2 × 3.612 × 10²⁴

= 7.224 × 10²⁴

উত্তর: 7.22 × 10²⁴ টি

দেওয়া আছে,

কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r = 8.0 × 10⁶ m

পর্যায়কাল, T = 2.4 h = 8640 s

গ্রহপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 8.0 m s⁻²

গ্রহের ব্যাসার্ধ, R = ?

আমরা জানি, কেপলারের সূত্র অনুযায়ী,

T² = 4π²r³GM

বা, GM = 4π²r³T²

আবার, গ্রহপৃষ্ঠে g = GMR²

বা, R² = GMg = 4π²r³gT²

বা, R² = 4π² × (8 × 10⁶)³8 × (8640)²

বা, R² = 2.021 × 10²²5.972 × 10⁸

বা, R² = 3.385 × 10¹³

∴ R = 5.82 × 10⁶ m

উত্তর: 5.82 × 10⁶ m

লক্ষ করো: উপগ্রহের ভর (20 kg) এখানে লাগে না।

দেওয়া আছে,

ব্যাটারি, E₁ = 12 V এবং E₂ = 9 V

রোধ, 7 Ω, 8 Ω এবং 4 Ω

সুইচ k খোলা

I₁ = ?, I₂ = ?, I₃ = ?

সুইচ k খোলা থাকায় 4 Ω রোধের শাখায় প্রবাহ চলে না।

∴ I₃ = 0

ফলে 7 Ω ও 8 Ω রোধ এবং দুটি ব্যাটারি একই বন্ধ লুপে শ্রেণিতে আছে,

তাই I₁ = I₂ = I

চিত্রে ব্যাটারি দুটির দীর্ঘ পাত একই দিকে (a ও d এর দিকে), তাই তাড়িত বল সহায়ক।

লুপে কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র প্রয়োগ করে,

12 + 9 = 7I + 8I

বা, 21 = 15I

বা, I = 2115

∴ I₁ = I₂ = 1.4 A

উত্তর: I₁ = I₂ = 1.4 A; I₃ = 0

লক্ষ করো: চিত্রের ব্যাটারি দুটির দীর্ঘ পাত একই দিকে আঁকা, তাই emf দুটি যোগ হয়েছে। দুটি emf পরস্পর বিপরীতমুখী হলে (12 − 9 = 3 V) I = 3/15 = 0.2 A হতো।

দেওয়া আছে,

তারের দৈর্ঘ্য, L = 2.35 m

ব্যাস = 1.63 mm, ∴ ব্যাসার্ধ = 0.815 × 10⁻³ m

প্রবাহ, I = 1.24 A

রোধাঙ্ক, ρ = 2.80 × 10⁻⁸ Ω m

প্রতি সেকেন্ডে ব্যয়িত শক্তি (ক্ষমতা), P = ?

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πr² = π × (0.815 × 10⁻³)²

= 2.087 × 10⁻⁶ m²

আমরা জানি, R = ρLA

বা, R = 2.80 × 10⁻⁸ × 2.352.087 × 10⁻⁶

= 0.03153 Ω

আবার, P = I²R

বা, P = (1.24)² × 0.03153

∴ P = 0.0485 W

উত্তর: 0.0485 W (প্রতি সেকেন্ডে 0.0485 J)

দেওয়া আছে,

প্রস্থ, d = 2.0 cm = 2 × 10⁻² m

পুরুত্ব, t = 1.0 mm = 10⁻³ m

চৌম্বকক্ষেত্র, B = 1.5 Wb m⁻²

প্রবাহ, I = 200 A

ইলেকট্রনের ঘনত্ব, n = 8.4 × 10²⁸ m⁻³

e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

হল বিভব পার্থক্য, V_H = ?

আমরা জানি, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A = d × t

এবং প্রবাহ I = nAev (v = ইলেকট্রনের প্রবাহবেগ)

হল বিভব পার্থক্য, V_H = Bvd = BIdnAe = BInte

বা, V_H = 1.5 × 2008.4 × 10²⁸ × 10⁻³ × 1.6 × 10⁻¹⁹

বা, V_H = 3001.344 × 10⁷

∴ V_H = 2.23 × 10⁻⁵ V

উত্তর: 2.23 × 10⁻⁵ V

লক্ষ করো: প্রশ্নে পুরুত্বের একক "min" ছাপা হয়েছে; এটিকে "mm" ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

গ্রেটিং-এর প্রস্থ = 25.4 mm = 25.4 × 10⁻³ m

মোট রেখা = 1.26 × 10⁴

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 450 × 10⁻⁹ m

চরমের ক্রম, n = 2

কোণ, θ = ?

গ্রেটিং ধ্রুবক, d = 25.4 × 10⁻³1.26 × 10⁴

= 2.016 × 10⁻⁶ m

আমরা জানি, d sin θ = nλ

বা, sin θ = nλd

বা, sin θ = 2 × 450 × 10⁻⁹2.016 × 10⁻⁶

বা, sin θ = 0.4465

∴ θ = 26.5°

উত্তর: 26.5°

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক চাপ, P₁ = 1.2 atm

প্রাথমিক তাপমাত্রা, T₁ = 310 K

প্রাথমিক আয়তন, V₁ = 4.3 L

চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = 0.76 L

γ = 1.4

P₂ = ?, T₂ = ?

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায়, PV^γ = ধ্রুবক এবং TV^γ−1 = ধ্রুবক।

(ক) চূড়ান্ত চাপ নির্ণয়:

P₂V₂^γ = P₁V₁^γ

বা, P₂ = P₁(V₁V₂)^γ

বা, P₂ = 1.2 × (4.30.76)^1.4

বা, P₂ = 1.2 × (5.658)^1.4

∴ P₂ = 13.6 atm

(খ) চূড়ান্ত তাপমাত্রা নির্ণয়:

T₂V₂^γ−1 = T₁V₁^γ−1

বা, T₂ = T₁(V₁V₂)^γ−1

বা, T₂ = 310 × (5.658)^0.4

∴ T₂ = 620 K

উত্তর: (ক) 13.6 atm; (খ) 620 K

দেওয়া আছে,

কার্যাপেক্ষক, W₀ = 1.8 eV = 1.8 × 1.6 × 10⁻¹⁹ J = 2.88 × 10⁻¹⁹ J

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 400 nm = 4 × 10⁻⁷ m

h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s, c = 3 × 10⁸ m s⁻¹

e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, m_e = 9.1 × 10⁻³¹ kg

ফোটনের শক্তি, E = hcλ = 6.63 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸4 × 10⁻⁷

= 4.97 × 10⁻¹⁹ J

আমরা জানি, E = W₀ + K_max

বা, K_max = 4.97 × 10⁻¹⁹ − 2.88 × 10⁻¹⁹

= 2.09 × 10⁻¹⁹ J

(ক) নিবৃত্ত বিভব নির্ণয়:

eV₀ = K_max

বা, V₀ = 2.09 × 10⁻¹⁹1.6 × 10⁻¹⁹

∴ V₀ = 1.31 V

(খ) সর্বোচ্চ গতিবেগ নির্ণয়:

K_max = (1/2)m_ev_max²

বা, v_max = 2K_maxm_e

বা, v_max = 2 × 2.09 × 10⁻¹⁹9.1 × 10⁻³¹

বা, v_max = 4.59 × 10¹¹

∴ v_max = 6.78 × 10⁵ m s⁻¹

উত্তর: (ক) 1.31 V; (খ) 6.78 × 10⁵ m s⁻¹

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_½ = 1.42 × 10¹⁷ s

নমুনার ভর = 1 g

U²³⁸-এর মোলার ভর = 238 g mol⁻¹

অ্যাভোগেড্রো সংখ্যা, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

প্রতি সেকেন্ডে ক্ষয়ের সংখ্যা, A = ?

আমরা জানি,

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ln 2T_½

বা, λ = 0.6931.42 × 10¹⁷

∴ λ = 4.88 × 10⁻¹⁸ s⁻¹

আবার, 1 g-এ পরমাণুর সংখ্যা,

N = 1238 × N_A

বা, N = 6.02 × 10²³238

∴ N = 2.53 × 10²¹

প্রতি সেকেন্ডে ক্ষয়, A = λN

বা, A = 4.88 × 10⁻¹⁸ × 2.53 × 10²¹

∴ A ≈ 1.23 × 10⁴ s⁻¹

উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে প্রায় 1.23 × 10⁴ (≈ 12347) টি পরমাণু ভেঙে যাবে

দেওয়া আছে,

প্রথম 250 m-এর সময় = 20 s

প্রথম 500 m-এর সময় = 20 + 30 = 50 s

আদিবেগ u এবং মন্দন a ধরি।

থামতে আর অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = ?

আমরা জানি,

s = ut − (1/2)at²

250 = 20u − (1/2)a(20)²

বা, 250 = 20u − 200a ......(i)

500 = 50u − (1/2)a(50)²

বা, 500 = 50u − 1250a ......(ii)

(i) থেকে, u = 12.5 + 10a

(ii)-এ বসিয়ে, 500 = 625 + 500a − 1250a

বা, 750a = 125

∴ a = 1/6 m s⁻² = 0.167 m s⁻²

∴ u = 12.5 + 10/6 = 14.17 m s⁻¹

থামা পর্যন্ত মোট দূরত্ব, S = u²2a

বা, S = (14.17)²2 × (1/6)

বা, S = 200.70.3333

∴ S = 602.1 m

অতিক্রান্ত 500 m বাদে, বাকি দূরত্ব = 602.1 − 500

∴ বাকি দূরত্ব = 102.1 m

উত্তর: প্রায় 102 m

লক্ষ করো: 50 s সময়ে ট্রেনের বেগ = 14.17 − (1/6) × 50 = 5.83 m s⁻¹ (ধনাত্মক), অর্থাৎ ট্রেন তখনো থামেনি; তাই হিসাব সংগত।

দেওয়া আছে,

কম্পাঙ্ক, f = 262 Hz

বিস্তার, A = 1.5 × 10⁻⁴ m

t = 0 সময়ে সরণ, x = A

(ক) গতির সমীকরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

x = A sin(ωt + δ)

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 2πf

বা, ω = 2π × 262

∴ ω = 524π rad s⁻¹ = 1646 rad s⁻¹

t = 0 তে x = A হলে, A = A sin δ

বা, sin δ = 1

∴ δ = π/2

∴ x = A sin(524πt + π/2)

বা, x = A cos(524πt)

বা, x = 1.5 × 10⁻⁴ cos(524πt) m

(খ) বেগ ও ত্বরণ নির্ণয়:

বেগ, v = dxdt

বা, v = −524πA sin(524πt)

বা, v = −0.247 sin(524πt) m s⁻¹

ত্বরণ, a = dvdt

বা, a = −(524π)²A cos(524πt)

বা, a = −(2.71 × 10⁶) × 1.5 × 10⁻⁴ cos(524πt)

∴ a = −406 cos(524πt) m s⁻²

উত্তর: (ক) x = 1.5 × 10⁻⁴ cos(524πt) m; (খ) v = −0.247 sin(524πt) m s⁻¹, a = −406 cos(524πt) m s⁻²

দেওয়া আছে,

ফোকাস দূরত্ব, f = 75 mm = 0.075 m

বস্তুর দূরত্ব, u = 27 m

বস্তুর উচ্চতা, h = 180 cm

প্রতিবিম্বের উচ্চতা, h′ = ?

আমরা জানি,

লেন্স সমীকরণ, 1u + 1v = 1f

বা, 1v = 10.075 − 127

বা, 1v = 13.333 − 0.037 = 13.296

∴ v = 0.0752 m

রৈখিক বিবর্ধন, m = vu = 0.075227

∴ m = 2.79 × 10⁻³ (≈ 1/359)

আবার, m = h′h

বা, h′ = m × h

বা, h′ = 180 × 2.79 × 10⁻³

∴ h′ = 0.50 cm

উত্তর: প্রতিবিম্বের উচ্চতা প্রায় 0.50 cm (5 mm) এবং এটি উল্টো

দেওয়া আছে,

তরঙ্গ দুটির প্রত্যেকের বিস্তার, A₁ = A₂ = y_m

দশা পার্থক্য, φ = π/2 rad

লব্ধি বিস্তার, A_R = ?

আমরা জানি,

A_R = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos φ

বা, A_R = y_m² + y_m² + 2y_m² cos(π/2)

বা, A_R = 2y_m² + 0

∴ A_R = 2 y_m ≈ 1.414 y_m

উত্তর: 2 y_m

দেওয়া আছে,

পর্দার দূরত্বের পরিবর্তন, ΔD = 5 × 10⁻² m

ডোরা ব্যবধানের পরিবর্তন, Δx = 3 × 10⁻⁵ m

চির দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, d = 10⁻³ m

তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, λ = ?

আমরা জানি,

ডোরা ব্যবধান, x = λDd

বা, Δx = λΔDd

বা, λ = Δx × dΔD

বা, λ = 3 × 10⁻⁵ × 10⁻³5 × 10⁻²

∴ λ = 6 × 10⁻⁷ m = 6000 Å

উত্তর: 6 × 10⁻⁷ m