বুয়েট ২০১৫ — লিখিত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে,

বস্তুর ভর, m = 50 kg

ওজন, W = mg = 50 × 9.8 = 490 N

T₁ দড়ি ছাদের সাথে 45° এবং T₂ দড়ি ছাদের সাথে 60° কোণ করে।

T₁ = ?, T₂ = ?

T₁ ও T₂ এর মধ্যবর্তী কোণ = 180° − 45° − 60° = 75°

T₁ ও W এর মধ্যবর্তী কোণ = 90° + 45° = 135°

T₂ ও W এর মধ্যবর্তী কোণ = 90° + 60° = 150°

লামির উপপাদ্য অনুযায়ী,

T₁sin 150° = T₂sin 135° = Wsin 75°

বা, T₁ = 490 × sin 150°sin 75°

= 490 × 0.50.9659

∴ T₁ = 253.6 N

আবার, T₂ = 490 × sin 135°sin 75°

= 490 × 0.70710.9659

∴ T₂ = 358.7 N

উত্তর: T₁ = 253.6 N; T₂ = 358.7 N

দেওয়া আছে,

উচ্চতা, h = 500 km = 5 × 10⁵ m

ঐ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, g′ = 9.3 m s⁻²

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6.4 × 10⁶ m (ধরা হলো)

স্যাটেলাইটের বেগ, v = ?

কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r = R + h = 6.9 × 10⁶ m

কক্ষে ঘূর্ণনের জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল = ঐ স্থানের অভিকর্ষ বল

বা, mv²r = mg′

বা, v = g′r

= 9.3 × 6.9 × 10⁶

= 6.417 × 10⁷

∴ v = 8.01 × 10³ m s⁻¹

উত্তর: 8.01 × 10³ m s⁻¹ (≈ 8 km s⁻¹)

লক্ষ করো: পৃথিবীর ব্যাসার্ধ প্রশ্নে নেই; 6.4 × 10⁶ m ধরা হয়েছে। প্রশ্নে g ঐ উচ্চতার মান বলা হয়েছে, তাই v = g′(R + h) নেওয়া হলো।

দেওয়া আছে,

প্রথম অবস্থায় দক্ষতা, η₁ = 1/6

তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা 65 K কমালে দক্ষতা, η₂ = 1/3

ধরি, উৎসের তাপমাত্রা T₁ এবং গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂

T₁ = ?, T₂ = ?

আমরা জানি, η = 1 − T₂T₁

প্রথম ক্ষেত্রে, 16 = 1 − T₂T₁ ...... (i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 13 = 1 − T₂ − 65T₁ ...... (ii)

(ii) − (i) করে, 13 − 16 = T₂T₁ − T₂ − 65T₁

বা, 16 = 65T₁

∴ T₁ = 390 K

(i) থেকে, T₂T₁ = 1 − 16 = 56

বা, T₂ = 56 × 390

∴ T₂ = 325 K

উত্তর: তাপ উৎসের তাপমাত্রা 390 K (117°C); তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা 325 K (52°C)

দেওয়া আছে,

ধরি, পুত্রের ভর m, তাহলে পিতার ভর 2m

ধরি, পুত্রের বেগ v_s এবং পিতার বেগ v_f

পিতার গতিশক্তি = (1/2) × পুত্রের গতিশক্তি

পিতার বেগ 1 m s⁻¹ বাড়ালে গতিশক্তি সমান হয়।

v_s = ?, v_f = ?

প্রথম শর্ত থেকে,

(1/2)(2m)v_f² = (1/2) × (1/2)mv_s²

বা, v_s² = 4v_f²

বা, v_s = 2v_f ...... (i)

দ্বিতীয় শর্ত থেকে,

(1/2)(2m)(v_f + 1)² = (1/2)mv_s²

বা, 2(v_f + 1)² = v_s² = 4v_f²

বা, (v_f + 1)² = 2v_f²

বা, v_f + 1 = 2 v_f

বা, v_f = 12 − 1 = 2 + 1

∴ v_f = 2.41 m s⁻¹

(i) থেকে, v_s = 2 × 2.41

∴ v_s = 4.83 m s⁻¹

উত্তর: পিতার বেগ 2.41 m s⁻¹; পুত্রের বেগ 4.83 m s⁻¹

ধরি, বস্তু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব r (স্থির)।

আমরা জানি, মহাকর্ষ বল,

F = G m(M − m)r²

G, M ও r ধ্রুবক, তাই F সর্বোচ্চ হবে যখন m(M − m) সর্বোচ্চ।

ধরি, y = m(M − m) = Mm − m²

সর্বোচ্চ হওয়ার শর্ত, dydm = 0

বা, M − 2m = 0

বা, m = M/2

দ্বিতীয় অন্তরকলন, d²ydm² = −2 < 0, তাই এটি সর্বোচ্চ।

∴ Mm = 2

তখন সর্বোচ্চ বল, F_max = G M²4r²

উত্তর: M/m = 2 (বস্তুটিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করলে)

দেওয়া আছে,

ভর, m = 10 μg = 10⁻⁵ g

পারমাণবিক ভর, M = 228 g mol⁻¹

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1600 y = 1600 × 365 = 5.84 × 10⁵ দিন

সময়, t = 24 h = 1 দিন

বিপদসীমা = 2.23 × 10¹³ টি পরমাণুর ক্ষয়

প্রাথমিক পরমাণুর সংখ্যা,

N₀ = mM × N_A

= 10⁻⁵228 × 6.02 × 10²³

= 2.64 × 10¹⁶

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = 0.693T_1/2 = 0.6935.84 × 10⁵

= 1.187 × 10⁻⁶ দিন⁻¹

1 দিনে ক্ষয়িত পরমাণু, ΔN = N₀(1 − e^−λt) ≈ N₀λt

= 2.64 × 10¹⁶ × 1.187 × 10⁻⁶ × 1

= 3.13 × 10¹⁰

এখানে 3.13 × 10¹⁰ < 2.23 × 10¹³

উত্তর: 24 ঘন্টা পর ক্ষয়িত পরমাণু প্রায় 3.1 × 10¹⁰, যা বিপদসীমার চেয়ে অনেক কম; তাই রোগী নিরাপদ থাকবে।

দেওয়া আছে,

প্লাটফর্মের বিস্তার, A = 4.9 m

g = 9.8 m s⁻²

প্লাটফর্মটি সরল ছন্দিত গতিতে কাঁপছে।

প্লাটফর্মের সরণ x হলে ত্বরণের মান, a = ω²x

সর্বোচ্চ ত্বরণ (প্রান্তবিন্দুতে, x = A), a_max = ω²A

প্লাটফর্ম নিচের দিকে ত্বরিত হওয়ার সময় মানুষের উপর প্রতিক্রিয়া বল, N = m(g − a)

পা আলাদা হওয়ার শর্ত, N = 0, অর্থাৎ প্লাটফর্মের নিম্নমুখী ত্বরণ g এর সমান হওয়া।

বা, ω²A = g

বা, ω² = gA

= 9.84.9

= 2

∴ ω = 2 rad s⁻¹

ω এর মান 2 এর বেশি হলে প্রান্তে a_max > g হবে এবং পা প্লাটফর্ম থেকে আলাদা হবে।

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

n = 12 তম রিং এর ব্যাস, D_n = 8 mm = 8 × 10⁻³ m

(n + p) = 20 তম রিং এর ব্যাস, D_n+p = 12 mm = 12 × 10⁻³ m

p = 20 − 12 = 8

বক্রতার ব্যাসার্ধ, R = 25 m

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = ?

আমরা জানি, উজ্জ্বল রিং এর ব্যাসের জন্য,

D_n² = 2(2n − 1)λR

∴ D_n+p² − D_n² = 4pλR

বা, λ = D_n+p² − D_n²4pR

= (12 × 10⁻³)² − (8 × 10⁻³)²4 × 8 × 25

= (144 − 64) × 10⁻⁶800

= 80 × 10⁻⁶800

∴ λ = 1 × 10⁻⁷ m

উত্তর: λ = 1 × 10⁻⁷ m (100 nm)

লক্ষ করো: 12 তম ও 20 তম রিং এর মধ্যে p = 8। ছাপা তথ্য অনুযায়ীই হিসাব করা হয়েছে; প্রশ্নের মানে আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য দৃশ্যমান পরিসরের বাইরে আসে।

দেওয়া আছে,

ফোঁটার সংখ্যা, n = 10⁶

ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ, r = 0.1 mm = 10⁻⁴ m

পৃষ্ঠটান, T = 72 × 10⁻³ N m⁻¹

নির্গত শক্তি, W = ?

আমরা জানি, আয়তন অপরিবর্তিত থাকে,

n × (4/3)πr³ = (4/3)πR³

বা, R = n^1/3 r = (10⁶)^1/3 × 10⁻⁴

∴ R = 10⁻² m

পৃষ্ঠক্ষেত্রফলের পরিবর্তন,

ΔA = n × 4πr² − 4πR²

= 4π(nr² − R²)

= 4π(10⁶ × 10⁻⁸ − 10⁻⁴)

= 4π × 9.9 × 10⁻³

= 0.1244 m²

নির্গত শক্তি, W = T × ΔA

= 72 × 10⁻³ × 0.1244

∴ W = 8.96 × 10⁻³ J

উত্তর: 8.96 × 10⁻³ J

দেওয়া আছে,

ইয়ং-এর গুণাংক, Y = 2 × 10¹¹ N m⁻²

পয়সনের অনুপাত, σ = 0.4

আয়তন গুণাংক, B = ?

আমরা জানি,

Y = 3B(1 − 2σ)

বা, B = Y3(1 − 2σ)

বা, B = 2 × 10¹¹3 × (1 − 0.8)

বা, B = 2 × 10¹¹0.6

∴ B = 3.33 × 10¹¹ N m⁻²

উত্তর: 3.33 × 10¹¹ N m⁻²

লক্ষ করো: ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ও ঝুলানো ভর আয়তন গুণাংক নির্ণয়ে লাগে না।

দেওয়া আছে,

সরবরাহ ভোল্টেজ = 10 V

কালেক্টর রোধ = 1 kΩ

α = 0.99

কালেক্টর বিভব, V_C = ?

চিত্রে বেস (B) ও এমিটার (E) সরাসরি ভূমির সাথে যুক্ত।

∴ V_BE = 0

অর্থাৎ বেস-এমিটার জংশন ফরোয়ার্ড বায়াসিত নয়।

আবার কালেক্টর-বেস জংশনে রিভার্স বায়াস প্রযুক্ত।

দুটি জংশনই রিভার্স বায়াসে (বা শূন্য বায়াসে) থাকায় ট্রানজিস্টর কাট-অফ অবস্থায়।

কাট-অফ অবস্থায়, I_E = I_B = I_C = 0

1 kΩ রোধে বিভব পতন = I_C × 1 kΩ = 0

∴ V_C = 10 − 0 = 10 V

উত্তর: 10 V

লক্ষ করো: ব্যাটারির ধনাত্মক প্রান্ত রোধের দিকে ধরা হয়েছে। α-এর মান এখানে লাগে না।

দেওয়া আছে,

Ag-এর সূচন কম্পাংক, ν_0Ag = 6.033 × 10¹⁴ Hz

Au-এর সূচন কম্পাংক, ν_0Au = 4.416 × 10¹⁴ Hz

Ag-এর বিভব, V_Ag = 2.25 V

Au-এর বিভব, V_Au = 1.58 V

ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

(ক) প্ল্যাংকের ধ্রুবক নির্ণয়:

আমরা জানি, আলোক তড়িৎক্রিয়ায়,

hν = hν_0Ag + eV_Ag ... (i)

hν = hν_0Au + eV_Au ... (ii)

(i) ও (ii) থেকে,

h(ν_0Ag − ν_0Au) = e(V_Ag − V_Au) (মানের হিসাবে)

বা, h = e(V_Ag − V_Au)ν_0Ag − ν_0Au

বা, h = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 0.671.617 × 10¹⁴

∴ h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s

(খ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:

আমরা জানি, W₀ = hν₀

Ag-এর জন্য, W₀ = 6.63 × 10⁻³⁴ × 6.033 × 10¹⁴

= 4.00 × 10⁻¹⁹ J

= 4.00 × 10⁻¹⁹1.6 × 10⁻¹⁹ eV = 2.50 eV

Au-এর জন্য, W₀ = 6.63 × 10⁻³⁴ × 4.416 × 10¹⁴

= 2.93 × 10⁻¹⁹ J

= 2.93 × 10⁻¹⁹1.6 × 10⁻¹⁹ eV = 1.83 eV

উত্তর: (ক) h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s; (খ) W₀(Ag) = 4.00 × 10⁻¹⁹ J = 2.50 eV, W₀(Au) = 2.93 × 10⁻¹⁹ J = 1.83 eV

লক্ষ করো: একই আলোয় বেশি সূচন কম্পাংকের ধাতুর নিবৃত্তি বিভব বেশি হওয়ার কথা নয়; প্রশ্নের ডেটা অসংগত। সূচন কম্পাংক ও বিভবের পার্থক্যের মানের অনুপাত ধরে h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s পাওয়া যায়, যা সঠিক পরিচিত মানের সাথে মেলে।

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক বেগ, u = 45 m s⁻¹

পাল্লা, R = 200 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

নিক্ষেপ কোণ, α = ?

আমরা জানি,

R = u² sin 2αg

বা, sin 2α = Rgu²

বা, sin 2α = 200 × 9.845²

বা, sin 2α = 0.9679

বা, 2α = 75.4° অথবা 2α = 180° − 75.4° = 104.6°

∴ α = 37.7° অথবা α = 52.3°

উত্তর: 37.7° অথবা 52.3°

দেওয়া আছে,

বায়ুতে ফোকাস দূরত্ব, f_a = 18 cm

বায়ু সাপেক্ষে পানির প্রতিসরাঙ্ক, _aμ_w = 4/3

বায়ু সাপেক্ষে কাচের প্রতিসরাঙ্ক, _aμ_g = 3/2

পানিতে ফোকাস দূরত্ব, f_w = ?

আমরা জানি,

বায়ুতে, 1f_a = (_aμ_g − 1) × K ... (i)

পানিতে, 1f_w = (_wμ_g − 1) × K ... (ii)

যেখানে K = 1r₁ − 1r₂ (লেন্সের বক্রতা ধ্রুবক)

পানি সাপেক্ষে কাচের প্রতিসরাঙ্ক,

_wμ_g = _aμ_gaμ_w = 3/24/3 = 9/8

(i) ÷ (ii) করে,

f_wf_a = _aμ_g − 1_wμ_g − 1

বা, f_w = 18 × 0.50.125

∴ f_w = 72 cm

উত্তর: 72 cm

দেওয়া আছে,

প্রথম তরঙ্গের বিস্তার, A₁ = 4 একক

দ্বিতীয় তরঙ্গের বিস্তার, A₂ = 5 একক

দশা পার্থক্য, δ = π/3 = 60°

লব্ধি বিস্তার, A = ?

আমরা জানি,

A = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos δ

বা, A = 4² + 5² + 2 × 4 × 5 × cos 60°

বা, A = 16 + 25 + 20

বা, A = 61

∴ A = 7.81 একক

উত্তর: 7.81 একক

দেওয়া আছে,

মোট চার্জ, Q = 9 C

ব্যাসার্ধ, R = 30 cm = 0.3 m

পৃষ্ঠ চার্জ ঘনত্ব, σ = ?

আমরা জানি,

σ = QA = Q4πR²

বা, σ = 94 × 3.1416 × (0.3)²

বা, σ = 91.131

∴ σ = 7.96 C m⁻²

উত্তর: 7.96 C m⁻²

লক্ষ করো: গোলকের পৃষ্ঠে সুষম চার্জ ধরে পৃষ্ঠ চার্জ ঘনত্ব নির্ণয় করা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

তারের ভর, m = 50 g = 0.05 kg

তারের দৈর্ঘ্য, l = 2 m

টান, T = 5 × 9.8 = 49 N

একক দৈর্ঘ্যের ভর, μ = 0.052 = 0.025 kg m⁻¹

মূল সুরের কম্পাংক, f = ?

আমরা জানি,

f = 12lTμ

বা, f = 12 × 2490.025

বা, f = 0.25 × 1960

বা, f = 0.25 × 44.27

∴ f = 11.07 Hz

উত্তর: 11.07 Hz

দেওয়া আছে,

পাকসংখ্যা, N = 100

কুণ্ডলীর ব্যাসার্ধ, r = 0.2/2 = 0.1 m

আবিষ্ট তড়িচ্চালক শক্তি, ε = −12.56 V

সময়, dt = 5.0 × 10⁻² s

চৌম্বকক্ষেত্রের পরিবর্তন, dB = ?

কুণ্ডলীর ক্ষেত্রফল, A = πr² = π × (0.1)² = 0.0314 m²

আমরা জানি,

ε = −N dφdt = −NA dBdt

বা, dB = −ε dtNA

বা, dB = 12.56 × 5 × 10⁻²100 × 0.0314

বা, dB = 0.6283.14

∴ dB = 0.2 T

উত্তর: 0.2 T (বৃদ্ধি)

দেওয়া আছে,

অভিলক্ষ্যের ফোকাস দূরত্ব, f_o = 1 cm

অভিনেত্রের ফোকাস দূরত্ব, f_e = 4 cm

লেন্স দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, L = 14.5 cm

বস্তুর দৈর্ঘ্য, l = 1.5 mm

অভিলক্ষ্য থেকে বস্তুর দূরত্ব, u₁ = 1.1 cm

প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য, l′ = ?

অভিলক্ষ্যের ক্ষেত্রে:

আমরা জানি,

1v₁ + 1u₁ = 1f_o

বা, 1v₁ = 11 − 11.1

বা, 1v₁ = 0.11.1

∴ v₁ = 11 cm

অভিনেত্রের ক্ষেত্রে:

অভিনেত্রের বস্তু দূরত্ব, u₂ = L − v₁ = 14.5 − 11 = 3.5 cm

1v₂ = 1f_e − 1u₂

বা, 1v₂ = 14 − 13.5

∴ v₂ = −28 cm (অবাস্তব প্রতিবিম্ব)

বিবর্ধন:

m₁ = −v₁u₁ = −111.1 = −10

m₂ = −v₂u₂ = −(−28)3.5 = 8

M = m₁ × m₂ = −10 × 8 = −80

অর্থাৎ প্রতিবিম্ব উল্টো ও 80 গুণ বড়।

l′ = |M| × l = 80 × 1.5 mm

∴ l′ = 120 mm = 12 cm

উত্তর: 12 cm (উল্টো প্রতিবিম্ব)